Équations différentielles linéaires : contrôle de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Système à coefficients constants / 4 pts

Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\).

1. Détermine les valeurs propres et des vecteurs propres de \(A\).
2. Donne la solution générale de \(X’ = AX\).
3. Résous le problème avec \(X(0) = (7, 3)\).

2 Exponentielle et variation des constantes / 4 pts

Soit \(A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) et \(B(t) = (0, e^{-t})\).

1. Écris \(A = -I + N\) et calcule \(e^{tA}\).
2. Par variation des constantes, détermine la solution de \(X’ = AX + B\) telle que \(X(0) = (0,0)\).
3. Donne la solution telle que \(X(0) = (1, 0)\).

3 Équation d’ordre 2 homogène et Wronskien / 4 pts

On considère \(y'' - 2y’ + 5y = 0\).

1. Donne les racines de l’équation caractéristique.
2. Donne la solution générale réelle.
3. Détermine la solution avec \(y(0) = 0\) et \(y’(0) = 2\).
4. Calcule le Wronskien de \(y_1 = e^{t}\cos 2t\) et \(y_2 = e^{t}\sin 2t\) et vérifie la formule d’Abel.

4 Variation des constantes à l’ordre 2 / 4 pts

On considère \(y'' - y = e^{t}\).

1. Donne une base de l’équation homogène et son Wronskien.
2. Détermine une solution particulière par variation des constantes.
3. Résous le problème de Cauchy \(y(0) = 0\), \(y’(0) = 1\).

5 Étude qualitative d’un oscillateur / 4 pts

Pour \(m \geq 0\), on étudie \(y'' + my’ + 4y = 0\). Pour \(m = 0, 1, 4, 5\), précise la nature des racines caractéristiques et le comportement des solutions en \(+\infty\) (périodique, amorti oscillant, critique, apériodique).