Algèbre générale et dualité : exercices corrigés de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Ordres dans Z/6Z ★★★

L’ordre de la classe de \(k\) est \(\dfrac{6}{\operatorname{pgcd}(6,k)}\). (1 pt)

Un élément engendre le groupe si et seulement si son ordre vaut \(6\) : ce sont \(1\) et \(5\). Réponse : les générateurs sont \(\overline 1\) et \(\overline 5\), et les ordres sont \(1,6,3,2,3,6\).

2 Une exponentielle comme morphisme ★★★

Pour tous réels \(x,y\), \(f(x+y)=e^{3x+3y}=e^{3x}e^{3y}=f(x)f(y)\) : c’est un morphisme.

Noyau : \(e^{3x}=1\iff 3x=0\iff x=0\), donc \(\ker f=\{0\}\) et \(f\) est injective.

Surjectivité : pour \(y>0\), \(x=\dfrac{\ln y}{3}\) vérifie \(f(x)=y\). Ainsi \(f\) est bijective : c’est un isomorphisme de groupes.

3 Décomposer une permutation ★★★

On suit les images : \(1\to3\to5\to1\), donc le cycle \((1\;3\;5)\) ; \(2\to4\to2\), donc \((2\;4)\) ; \(6\) est fixe. Ainsi \(\sigma=(1\;3\;5)(2\;4)\).

Ordre : \(\operatorname{ppcm}(3,2)=6\). Signature : \((-1)^{3-1}\times(-1)^{2-1}=1\times(-1)=-1\). Réponse : \(\sigma\) est d’ordre \(6\) et de signature \(-1\).

4 Somme et intersection d’idéaux de Z ★★★

\(\operatorname{pgcd}(12,18)=6\), donc \(12\mathbb Z+18\mathbb Z=6\mathbb Z\). (1 pt)

\(\operatorname{ppcm}(12,18)=36\), donc \(12\mathbb Z\cap18\mathbb Z=36\mathbb Z\). (1 pt)

Bézout : \(6=2\times12-1\times18\), car \(24-18=6\). Réponse : \(6\mathbb Z\), \(36\mathbb Z\) et \(6=2\times12-18\).

5 Division euclidienne par X − 2 ★★★

On trouve \(X^3+2X^2-5X+1=(X-2)(X^2+4X+3)+7\). Vérification : \((X-2)(X^2+4X+3)=X^3+2X^2-5X-6\), et \(-6+7=1\).

Le quotient est \(X^2+4X+3\) et le reste est \(7\). Comme le reste de la division par \(X-2\) est \(P(2)\), on a \(P(2)=8+8-10+1=7\), ce qui concorde.

6 Déterminant d’ordre 3 ★★★

Par la règle de Sarrus : \(1\cdot1\cdot1+2\cdot4\cdot0+0\cdot3\cdot2-0\cdot1\cdot0-2\cdot3\cdot1-1\cdot4\cdot2=1-6-8=-13\).

Comme \(\det A=-13\neq0\), la matrice \(A\) est inversible.

7 Noyau d’une forme linéaire ★★★

\(\varphi\) est linéaire et non nulle (\(\varphi(1,0,0)=2\)), donc son noyau est un hyperplan, de dimension \(2\).

Les vecteurs \((1,2,0)\) et \((0,3,1)\) vérifient \(2-2=0\) et \(-3+3=0\) : ils sont dans \(\ker\varphi\). Ils sont non colinéaires, donc forment une famille libre de deux éléments dans un espace de dimension \(2\) : c’est une base.

8 Non commutativité de S3 ★★★

\((1\;2)\circ(2\;3)\) : \(1\to1\to2\), \(2\to3\to3\), \(3\to2\to1\), c’est \((1\;2\;3)\). \((2\;3)\circ(1\;2)\) : \(1\to2\to3\), \(3\to3\to2\), \(2\to1\to1\), c’est \((1\;3\;2)\). Les résultats diffèrent : \(\mathfrak S_3\) n’est pas abélien. (1 pt)

Ordres : l’identité \(1\) ; les trois transpositions \(2\) ; les deux 3-cycles \(3\). (1 pt)

Sous-groupes : \(\{\mathrm{id}\}\), trois d’ordre \(2\) (une transposition chacun), un d’ordre \(3\) (\(\mathfrak A_3\)) et \(\mathfrak S_3\), soit \(6\) sous-groupes (aucun d’ordre \(4\) ou \(5\) par Lagrange). (1 pt)

9 Puissances d’une permutation ★★★

Ordre : \(\operatorname{ppcm}(4,3)=12\). Signature : \((-1)^{3}\times(-1)^{2}=-1\).

\(100=8\times12+4\), donc \(\sigma^{100}=\sigma^4=(1\;2\;3\;4)^4(5\;6\;7)^4\) (les cycles commutent). Or \((1\;2\;3\;4)^4=\mathrm{id}\) et \((5\;6\;7)^4=(5\;6\;7)\). Réponse : \(\sigma^{100}=(5\;6\;7)\).

10 Un idéal de polynômes ★★★

\(0\in I\). Si \(P,Q\in I\), \((P-Q)(1)=0\), donc \(P-Q\in I\) : c’est un sous-groupe additif. Si \(P\in I\) et \(R\in\mathbb R[X]\), \((RP)(1)=R(1)P(1)=0\), donc \(RP\in I\) : c’est un idéal. (1 pt)

Si \(P\in I\), alors \(1\) est racine de \(P\), donc \((X-1)\mid P\) : \(P=(X-1)Q\). Réciproquement tout multiple de \(X-1\) s’annule en \(1\). Donc \(I=(X-1)\mathbb R[X]\). (1 pt)

11 pgcd et relation de Bézout ★★★

\(A=(X-1)B+(1-X^2)\), car \((X-1)B=X^4+X^2-2\) et \(A-(X^4+X^2-2)=1-X^2\).

\(B=(X+1)(X^2-1)+(3X+3)\), car \((X+1)(X^2-1)=X^3+X^2-X-1\) et \(B-(\dots)=3X+3\).

\(X^2-1=(X-1)(X+1)=\dfrac{X-1}{3}(3X+3)\) : le reste est nul. Le dernier reste non nul est \(3X+3\), donc \(\operatorname{pgcd}(A,B)=X+1\).

12 Un Vandermonde ★★★

Vandermonde avec \((a,b,c)=(1,2,3)\) : \((2-1)(3-1)(3-2)=1\times2\times1=2\). (1 pt)

Opérations : \(C_2\leftarrow C_2-C_1\), \(C_3\leftarrow C_3-C_1\) donnent \(\begin{vmatrix}1&0&0\\1&1&2\\1&3&8\end{vmatrix}=1\times(8-6)=2\). Les deux méthodes concordent : le déterminant vaut \(2\). (1 pt)

13 Base duale dans le plan ★★★

\(P=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\), \(\det P=1\), \(P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}\). Donc \(u_1^*(x,y)=x-y\) et \(u_2^*(x,y)=-x+2y\). Vérification : \(u_1^*(2,1)=1\), \(u_1^*(1,1)=0\), \(u_2^*(2,1)=0\), \(u_2^*(1,1)=1\). (1 pt)

Coordonnées de \(w\) : \(u_1^*(7,4)=3\) et \(u_2^*(7,4)=-7+8=1\). Donc \(w=3u_1+u_2=(6+1,3+1)=(7,4)\). (1 pt)

14 Même noyau, formes proportionnelles ★★★

\(\psi=-2\varphi\), donc \(\psi(v)=0\iff\varphi(v)=0\) : même noyau.

Le vecteur \((0,3,1)\) vérifie \(\varphi=-3+3=0\) mais \(\chi=-3+4=1\neq0\) : il est dans \(\ker\varphi\) sans être dans \(\ker\chi\). Les noyaux diffèrent (et \(\varphi,\chi\) ne sont pas proportionnelles).

15 Groupe d’exposant 2 ★★★

Pour tout \(x\), \(x^2=e\) donne \(x^{-1}=x\). Soient \(x,y\in G\). Alors \(xy\) est lui aussi son propre inverse : \(xy=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}=yx\). Donc \(G\) est abélien. (2 pts)

Exemple : \((\mathbb Z/2\mathbb Z)^2=\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}\), où tout élément ajouté à lui-même donne \((0,0)\). (1 pt)

16 Morphismes de Z/12Z dans Z/18Z ★★★

Un morphisme \(f\) est déterminé par \(a=f(\overline1)\), et l’on doit avoir \(12a=f(\overline{12})=0\) dans \(\mathbb Z/18\mathbb Z\). Réciproquement, tout \(a\) tel que \(12a\equiv0\pmod{18}\) définit un morphisme. (1 pt)

\(12a\equiv0\pmod{18}\iff 2a\equiv0\pmod3\iff a\equiv0\pmod3\) : \(a\in\{0,3,6,9,12,15\}\). (1 pt)

Il y a donc \(6\) morphismes, \(k\mapsto ak\), ce qui est \(\operatorname{pgcd}(12,18)\). (1 pt)

17 Permutations d’ordre 6 dans S5 ★★★

L’ordre est le ppcm des longueurs des cycles, dont la somme vaut \(5\) au plus. Pour obtenir \(6\), il faut un cycle de longueur \(3\) et un cycle de longueur \(2\) (un cycle de longueur \(6\) est impossible). (1 pt)

On choisit le support du 3-cycle : \(\binom53=10\) façons ; il y a \(2\) 3-cycles par support ; la transposition est alors imposée (les deux éléments restants). Total : \(10\times2=20\). (1 pt)

Signature : \((+1)\times(-1)=-1\) pour chacune. (1 pt)

18 Inversibles et équation dans Z/20Z ★★★

(a) \(\overline k\) est inversible si et seulement si \(\operatorname{pgcd}(k,20)=1\) : \(1,3,7,9,11,13,17,19\), soit \(8\) éléments. (1 pt)

(b) \(7\times3=21\equiv1\), donc \(7^{-1}=3\) et \(x=3\times3=9\). Vérification : \(7\times9=63=60+3\equiv3\). (1 pt)

(c) \(4\times5=20\equiv0\) alors que \(4\neq0\) et \(5\neq0\) : ce sont des diviseurs de zéro. (1 pt)

19 Reste modulo un produit ★★★

Le reste a un degré au plus \(1\) : \(R=aX+b\), et \(P=(X-1)(X+2)Q+R\). On évalue en \(1\) et \(-2\), racines du diviseur. (1 pt)

\(P(1)=1-3+2=0\) donc \(a+b=0\) ; \(P(-2)=-32-12+2=-42\) donc \(-2a+b=-42\). (1 pt)

En soustrayant : \(-3a=-42\), \(a=14\), \(b=-14\). Réponse : \(R=14X-14\). (1 pt)

20 Dualité et formule de Simpson ★★★

(a) Les polynômes de Lagrange donnent \(L_0=\dfrac{(X-1)(X-2)}{2}\), \(L_1=-X(X-2)\), \(L_2=\dfrac{X(X-1)}{2}\) : on vérifie \(L_i(j)=\delta_{ij}\). (1 pt)

(b) Les coefficients de \(\Phi\) sont \(\Phi(L_i)\) : \(\int_0^2L_0=\dfrac13\), \(\int_0^2L_1=\left[-\dfrac{X^3}{3}+X^2\right]_0^2=\dfrac43\), \(\int_0^2L_2=\dfrac13\). (1 pt)

Donc \(\Phi=\dfrac13\mathrm{ev}_0+\dfrac43\mathrm{ev}_1+\dfrac13\mathrm{ev}_2\), c’est-à-dire \(\int_0^2P=\dfrac{P(0)+4P(1)+P(2)}{3}\). Test avec \(P=X^2\) : \(\dfrac83=\dfrac{0+4+4}{3}\). (1 pt)

21 Déterminant et rang avec paramètre ★★★

Développement selon la première ligne : \(\det A(m)=1\,(m-1)-1\,(1-m)+m\,(1-m^2)=2(m-1)-m(m-1)(m+1)\). On factorise : \((m-1)(2-m^2-m)=-(m-1)(m-1)(m+2)\). Donc \(\det A(m)=-(m-1)^2(m+2)\). (1 pt)

Si \(m\neq1\) et \(m\neq-2\), le déterminant est non nul : rang \(3\). (1 pt)

Si \(m=1\), les trois lignes sont égales : rang \(1\). Si \(m=-2\), les lignes \((1,1,-2)\) et \((1,-2,1)\) sont non proportionnelles, donc rang \(2\) (le déterminant est nul). (1 pt)