Équations différentielles linéaires : exercices corrigés de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Vrai ou faux autour de Cauchy ★★★

1. Vrai : \(X \mapsto X(0)\) est un isomorphisme de l’espace des solutions sur \(\mathbb{R}^3\) d’après Cauchy.
2. Faux : \((X_1+X_2)’ = A(X_1+X_2) + 2B \neq A(X_1+X_2) + B\) si \(B \neq 0\).
3. Vrai : \((X_1-X_2)’ = A(X_1 - X_2) + B - B = A(X_1-X_2)\).
4. Faux : si \(X(t_0) = 0\), la solution nulle vérifie le même problème de Cauchy ; par unicité, \(X = 0\).

2 Exponentielle d’une matrice diagonale ★★★

\(A^k = \mathrm{diag}(2^k, (-3)^k)\), donc \(e^{tA} = \mathrm{diag}(e^{2t}, e^{-3t})\).

\(X(t) = e^{tA}X(0) = (4e^{2t},\ 5e^{-3t})\).

Vérification : \(x’ = 8e^{2t} = 2x\) et \(y’ = -15e^{-3t} = -3y\).

3 Une matrice nilpotente ★★★

1. \(A^2 = 0\), donc la série s’arrête : \(e^{tA} = I + tA = \begin{pmatrix} 1 & 3t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).
2. \(X(t) = e^{tA}(1,2) = (1 + 6t,\ 2)\). Vérification : \(x’ = 6 = 3y\) et \(y’ = 0\).

4 Équation d’ordre 2 : deux racines réelles ★★★

Équation caractéristique \(r^2 - 5r + 6 = (r-2)(r-3) = 0\), donc \(y = ae^{2t} + be^{3t}\).

\(y(0) = a + b = 1\) et \(y’(0) = 2a + 3b = 0\) : \(b = -2\), \(a = 3\).

\(y(t) = 3e^{2t} - 2e^{3t}\).

5 Oscillateur harmonique ★★★

Les racines sont \(\pm 3i\) : \(y = a\cos 3t + b\sin 3t\). \(y(0) = a = 2\) ; \(y’(0) = 3b = 6\), donc \(b = 2\).

\(y = 2\cos 3t + 2\sin 3t = 2\sqrt{2}\cos(3t - \pi/4)\). L’amplitude est \(2\sqrt{2}\).

6 Calculs de Wronskiens ★★★

1. \(W = \cos 2t \cdot 2\cos 2t - (-2\sin 2t)\sin 2t = 2\). Non nul : base de \(y'' + 4y = 0\).
2. \(W = e^{t}(-e^{-t}) - e^{t}e^{-t} = -2\). Non nul : base de \(y'' - y = 0\).

7 Équation du premier ordre avec second membre ★★★

Homogène : \(y = Ce^{2t}\). On pose \(y_p = at + b\) : \(a = 2at + 2b + 4t\), donc \(2a + 4 = 0\) et \(a = 2b\) : \(a = -2\), \(b = -1\).

\(y(t) = -2t - 1 + Ce^{2t}\). Vérification : \(y’ = -2 + 2Ce^{2t}\) et \(2y + 4t = -2 + 2Ce^{2t}\).

8 Un système de dimension 2 ★★★

\(\chi_A(\lambda) = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda-2)(\lambda-5)\).

Pour \(5\) : \((A-5I)v = 0\) donne \(v_1 = (1,1)\). Pour \(2\) : \(v_2 = (1,-2)\).

\(X = c_1e^{5t}(1,1) + c_2e^{2t}(1,-2)\). Condition initiale : \(c_1 + c_2 = 1\), \(c_1 - 2c_2 = 4\), donc \(c_2 = -1\), \(c_1 = 2\).

\(X(t) = (2e^{5t} - e^{2t},\ 2e^{5t} + 2e^{2t})\). Contrôle : \(x’(0) = 8 = 4\cdot 1 + 4\).

9 Rotation dans le plan ★★★

1. \(J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\), \(J^2 = -I\). En séparant les puissances paires et impaires, \(e^{tA} = \cos(2t)I + \sin(2t)J = \begin{pmatrix} \cos 2t & -\sin 2t \\ \sin 2t & \cos 2t \end{pmatrix}\).
2. \(X(t) = (3\cos 2t,\ 3\sin 2t)\). Ainsi \(x^2 + y^2 = 9\). Directement : \((x^2+y^2)’ = 2x(-2y) + 2y(2x) = 0\) : la trajectoire est un cercle de rayon \(3\).

10 Racines complexes avec amortissement ★★★

Racines \(-1 \pm 2i\) : \(y = e^{-t}(a\cos 2t + b\sin 2t)\). \(y(0) = a = 1\).

\(y’ = e^{-t}\big((-a + 2b)\cos 2t + (-b - 2a)\sin 2t\big)\), donc \(y’(0) = -a + 2b = 0\), \(b = \tfrac12\).

\(y(t) = e^{-t}\left(\cos 2t + \tfrac12\sin 2t\right)\).

11 Racine double et second membre ★★★

1. \(y_p’ = (t + t^2)e^{2t}\), \(y_p'' = (1 + 4t + 2t^2)e^{2t}\). Alors \(y_p'' - 4y_p’ + 4y_p = e^{2t}(1 + 4t + 2t^2 - 4t - 4t^2 + 2t^2) = e^{2t}\).
2. L’homogène a une racine double \(2\) : \(y = (c_1 + c_2t + \tfrac{t^2}{2})e^{2t}\). \(y(0) = c_1 = 1\) ; \(y’(0) = c_2 + 2c_1 = 0\), donc \(c_2 = -2\). \(y(t) = (1 - 2t + \tfrac{t^2}{2})e^{2t}\).

12 Formule d’Abel ★★★

1. Racines de \(r^2 + 3r + 2 = (r+1)(r+2)\) : \(-1\) et \(-2\). \(W = e^{-t}(-2e^{-2t}) - (-e^{-t})e^{-2t} = -e^{-3t}\).
2. \(W’ = 3e^{-3t} = -3W\), conforme à Abel (\(a = 3\)). \(W\) ne s’annule jamais : \((e^{-t}, e^{-2t})\) est une base de \(S_H\).

13 Stabilité de deux systèmes ★★★

\(A_1\) est triangulaire : valeurs propres \(-1\) et \(-2\), toutes deux négatives. Toute solution tend vers \(0\) (stabilité asymptotique).

\(A_2\) : trace \(0\), déterminant \(-1 + 4 = 3\), donc \(\chi(\lambda) = \lambda^2 + 3\), valeurs propres \(\pm i\sqrt{3}\) distinctes. Les solutions sont périodiques de période \(2\pi/\sqrt{3}\) et ne tendent pas vers \(0\) (sauf la solution nulle) : c’est un centre.

14 Exponentielle d’un projecteur ★★★

\(A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = A\), donc \(A^k = A\) pour \(k \geq 1\).

\(e^{tA} = I + \sum_{k\geq1}\dfrac{t^k}{k!}A = I + (e^{t} - 1)A = \begin{pmatrix} e^{t} & e^{t} - 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).

Dérivée : \(\begin{pmatrix} e^t & e^t \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\). Et \(Ae^{tA} = \begin{pmatrix} e^t & e^t - 1 + 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) : égalité vérifiée.

15 Variation des constantes pour un système ★★★

\(A = 3I + N\), \(e^{-sA} = e^{-3s}\begin{pmatrix} 1 & -s \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).

\(e^{-sA}B(s) = e^{-3s}\,(e^{3s} - 2se^{3s},\ 2e^{3s}) = (1 - 2s,\ 2)\), d’intégrale \((t - t^2,\ 2t)\) sur \([0,t]\).

\(X(t) = e^{3t}\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} t - t^2 \\ 2t \end{pmatrix} = e^{3t}\,(t + t^2,\ 2t)\).

Contrôle : \(x’ = e^{3t}(1 + 5t + 3t^2) = 3x + y + e^{3t}\) et \(y’ = e^{3t}(2 + 6t) = 3y + 2e^{3t}\).

16 Déterminant d’une exponentielle ★★★

\(A\) est diagonalisable, de valeurs propres \(5\) et \(2\) : \(A = PDP^{-1}\) avec \(D = \mathrm{diag}(5, 2)\). Donc \(e^{A} = P\,\mathrm{diag}(e^5, e^2)P^{-1}\) et \(\det e^{A} = e^5e^2 = e^{7} = e^{\mathrm{tr}A}\).

En général, si \(A = PDP^{-1}\) avec \(D = \mathrm{diag}(\lambda_i)\), \(\det e^{A} = \prod e^{\lambda_i} = e^{\sum\lambda_i} = e^{\mathrm{tr}A}\). En particulier \(e^{A}\) est toujours inversible.

17 Résonance ★★★

\(y_p’ = \tfrac14\sin 2t + \tfrac t2\cos 2t\), \(y_p'' = \cos 2t - t\sin 2t\), donc \(y_p'' + 4y_p = \cos 2t\).

Solution générale : \(y = a\cos 2t + b\sin 2t + \tfrac t4\sin 2t\).

Le terme \(\tfrac t4\sin 2t\) a une amplitude qui croît linéairement : la solution n’est pas bornée. C’est la résonance, car \(2i\) est racine de l’équation caractéristique \(r^2 + 4 = 0\) et la fréquence du second membre est celle du système.

18 Régimes d’un oscillateur amorti ★★★

1. \(\Delta = k^2 - 16\). Si \(0 \lt k \lt 4\), \(\Delta \lt 0\) : pseudo-périodique. Si \(k = 4\) : critique, \(y = (a + bt)e^{-2t}\). Si \(k \gt 4\) : apériodique, deux racines réelles négatives.
2. \(k = 1\) : racines \(\dfrac{-1 \pm i\sqrt{15}}{2}\), pulsation \(\omega = \dfrac{\sqrt{15}}{2}\), pseudo-période \(\dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{4\pi}{\sqrt{15}} \approx 3{,}24\).
3. Si \(k \geq 4\), les racines réelles ont pour somme \(-k\lt 0\) et pour produit \(4 \gt 0\) : elles sont négatives. Si \(k \lt 4\), la partie réelle est \(-k/2 \lt 0\). Dans tous les cas \(e^{rt}\), \(te^{rt}\) tendent vers \(0\) quand \(\mathrm{Re}(r) \lt 0\).

19 Solutions globales et explosion ★★★

\(y’ = 2ty\) est linéaire à coefficient continu sur \(\mathbb{R}\) : \(y(t) = e^{t^2}\), définie sur \(\mathbb{R}\) tout entier, comme l’assure le théorème de Cauchy linéaire.

\(y’ = y^2\) n’est pas linéaire : \(y(t) = \dfrac{1}{1-t}\), solution maximale sur \(]-\infty, 1[\), qui explose en \(t = 1\). Dans le cas linéaire, l’explosion en temps fini est impossible.

20 Variation des constantes avec une tangente ★★★

\(W = \cos t\cos t - (-\sin t)\sin t = 1\). Donc \(c_1’ = -\sin t\tan t = -\dfrac{\sin^2 t}{\cos t} = -\dfrac{1}{\cos t} + \cos t\) et \(c_2’ = \cos t\tan t = \sin t\).

Une primitive de \(1/\cos t\) est \(\ln\dfrac{1 + \sin t}{\cos t}\). On prend \(c_1 = -\ln\dfrac{1+\sin t}{\cos t} + \sin t\) et \(c_2 = -\cos t\).

\(y_p = c_1\cos t + c_2\sin t = -\cos t\,\ln\dfrac{1 + \sin t}{\cos t}\).

Solution générale : \(y = a\cos t + b\sin t - \cos t\,\ln\dfrac{1 + \sin t}{\cos t}\).