Équations différentielles linéaires : corrigé du contrôle de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Système à coefficients constants / 4 pts

1. \(\chi_A = \lambda^2 - 6\lambda + 5 = (\lambda-1)(\lambda-5)\) (1 pt). Pour \(1\) : \(v_1 = (3,-1)\) ; pour \(5\) : \(v_2 = (1,1)\) (1 pt).
2. \(X = c_1e^{t}(3,-1) + c_2e^{5t}(1,1)\) (1 pt).
3. \(3c_1 + c_2 = 7\) et \(-c_1 + c_2 = 3\) donnent \(c_1 = 1\), \(c_2 = 4\) : \(X(t) = (3e^{t} + 4e^{5t},\ -e^{t} + 4e^{5t})\) (1 pt).

2 Exponentielle et variation des constantes / 4 pts

1. \(N = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\), \(N^2 = 0\), donc \(e^{tA} = e^{-t}(I + tN) = e^{-t}\begin{pmatrix} 1 & 2t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) (1,5 pt).
2. \(e^{-sA}B(s) = e^{s}\begin{pmatrix} 1 & -2s \\ 0 & 1 \end{pmatrix}(0, e^{-s}) = (-2s, 1)\), d’intégrale \((-t^2, t)\) (1 pt). \(X(t) = e^{-t}(-t^2 + 2t^2,\ t) = e^{-t}(t^2,\ t)\) (1 pt).
3. Par linéarité, on ajoute \(e^{tA}(1,0) = (e^{-t}, 0)\) : \(X(t) = e^{-t}(1 + t^2,\ t)\) (0,5 pt).

3 Équation d’ordre 2 homogène et Wronskien / 4 pts

1. \(\Delta = 4 - 20 = -16\), racines \(1 \pm 2i\) (1 pt).
2. \(y = e^{t}(a\cos 2t + b\sin 2t)\) (1 pt).
3. \(y(0) = a = 0\) ; \(y’(0) = a + 2b = 2\), donc \(b = 1\) : \(y = e^{t}\sin 2t\) (1 pt).
4. \(W = e^{2t}\left[\cos 2t(\sin 2t + 2\cos 2t) - (\cos 2t - 2\sin 2t)\sin 2t\right] = 2e^{2t}\), et \(W’ = 4e^{2t} = 2W = -aW\) avec \(a = -2\) (1 pt).

4 Variation des constantes à l’ordre 2 / 4 pts

1. Base \((e^{t}, e^{-t})\) ; \(W = e^{t}(-e^{-t}) - e^{t}e^{-t} = -2\) (1 pt).
2. \(c_1’ = -y_2f/W = \tfrac12\), \(c_2’ = y_1f/W = -\tfrac12e^{2t}\), d’où \(c_1 = \tfrac t2\), \(c_2 = -\tfrac14e^{2t}\) et \(y_p = \tfrac t2e^{t} - \tfrac14e^{t}\) (1,5 pt). On peut garder \(y_p = \tfrac t2e^{t}\), qui diffère par un élément de \(S_H\).
3. \(y = c_1e^{t} + c_2e^{-t} + \tfrac t2e^{t}\). \(y(0) = c_1 + c_2 = 0\) ; \(y’(0) = c_1 - c_2 + \tfrac12 = 1\) donc \(c_1 - c_2 = \tfrac12\), \(c_1 = \tfrac14\), \(c_2 = -\tfrac14\) : \(y = \tfrac14e^{t} - \tfrac14e^{-t} + \tfrac t2e^{t}\) (1,5 pt).

5 Étude qualitative d’un oscillateur / 4 pts

\(\Delta = m^2 - 16\).

• \(m = 0\) : racines \(\pm 2i\), solutions périodiques de période \(\pi\), non amorties (1 pt).
• \(m = 1\) : racines \(\dfrac{-1 \pm i\sqrt{15}}{2}\), régime pseudo-périodique amorti, \(y \to 0\) en oscillant (1 pt).
• \(m = 4\) : racine double \(-2\), \(y = (a + bt)e^{-2t} \to 0\), régime critique (1 pt).
• \(m = 5\) : racines \(-1\) et \(-4\), \(y = ae^{-t} + be^{-4t} \to 0\) sans oscillation, régime apériodique (1 pt).