Algèbre générale et dualité : contrôle de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Le groupe Z/10Z / 4 pts

On travaille dans le groupe additif \(\mathbb Z/10\mathbb Z\).

1. Donne l’ordre de chaque élément.
2. Détermine tous les sous-groupes.
3. Quels éléments engendrent le groupe ?
4. Combien y a-t-il de morphismes de \(\mathbb Z/10\mathbb Z\) dans \(\mathbb Z/4\mathbb Z\) ?

2 Une permutation de S6 / 4 pts

Soit \(\sigma\in\mathfrak S_6\) telle que \(\sigma(1)=4,\ \sigma(4)=2,\ \sigma(2)=6,\ \sigma(6)=1,\ \sigma(3)=5,\ \sigma(5)=3\).

1. Écris \(\sigma\) en cycles disjoints.
2. Donne son ordre et sa signature.
3. Écris \(\sigma^2\), puis \(\sigma^{2026}\).
4. Écris \(\sigma^{-1}\) en cycles disjoints.

3 L’anneau Z/15Z / 3 pts

Dans \(\mathbb Z/15\mathbb Z\) : (a) combien y a-t-il d’éléments inversibles ? (b) Résous \(4x=7\). (c) Donne deux diviseurs de zéro non nuls.

4 Factoriser et trouver un pgcd / 3 pts

Soit \(P=2X^3-3X^2-3X+2\) et \(Q=X^2-X-2\) dans \(\mathbb Q[X]\).

1. Vérifie que \(2\) est racine de \(P\).
2. Factorise \(P\) en produit de polynômes de degré \(1\).
3. Détermine \(\operatorname{pgcd}(P,Q)\).

5 Déterminant d’une matrice tridiagonale / 3 pts

Soit \(A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix}\). (a) Calcule \(\det A\). (b) En déduire \(\det(2A)\) et \(\det(A^3)\). (c) Quel est le rang de \(A\) ?

6 Base duale et coordonnées / 3 pts

Dans \(\mathbb R^2\), soit la base \(u_1=(1,2)\), \(u_2=(1,3)\).

1. Écris la matrice \(P\) des vecteurs en colonnes et calcule \(P^{-1}\).
2. En déduire la base duale \((u_1^*,u_2^*)\).
3. Donne les coordonnées de \(w=(5,7)\) dans cette base.