Équations différentielles : corrigé du contrôle de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Solution maximale / 4 pts

(a) La fonction \(f(y) = y^3\) est \(C^1\), donc localement lipschitzienne en \(y\), et continue : Cauchy-Lipschitz s’applique (1 pt).

(b) Tant que \(y \neq 0\), \(\dfrac{y’}{y^3} = 1\), donc \(-\dfrac{1}{2y^2} = t - \dfrac{1}{8}\) (1 pt), soit \(y^2 = \dfrac{4}{1 - 8t}\). Comme \(y(0) = 2 > 0\), \(y(t) = \dfrac{2}{\sqrt{1 - 8t}}\) (1 pt).

Elle est définie sur \(]-\infty, 1/8[\) et explose en \(t = 1/8\) (1 pt).

2 Gronwall / 4 pts

(a) Gronwall avec \(a = 0{,}1\), \(L = 2\) : \(u(1) \leq 0{,}1\,e^{2} \approx 0{,}74\) (2 pts).

(b) \(|\partial_y f| = |2\sin(2y)| \leq 2\) (1 pt), donc \(u(t) \leq 0{,}01\,e^{2t}\) et \(u(1{,}5) \leq 0{,}01\,e^{3} \approx 0{,}20\) (1 pt).

3 Exponentielle et système / 4 pts

(a) \(\operatorname{tr}A = 4\), \(\det A = 3 + 1 = 4\), polynôme \(\lambda^2 - 4\lambda + 4 = (\lambda - 2)^2\) (1 pt).

(b) \(N = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\) et \(N^2 = 0\) (1 pt).

(c) \(e^{tA} = e^{2t}(I + tN) = e^{2t}\begin{pmatrix} 1 - t & t \\ -t & 1 + t \end{pmatrix}\) (1 pt). Alors \(Y(t) = e^{2t}(1 + t,\ 2 + t)\) (1 pt).

4 Portrait de phase / 3 pts

\(T = -4\), \(D = 4 + 9 = 13\) (1 pt). \(\Delta = 16 - 52 = -36 < 0\) : valeurs propres \(-2 \pm 3i\), et comme \(T < 0\), l’origine est un foyer stable (1 pt).

La partie réelle \(-2\) est strictement négative : toutes les solutions tendent vers \(0\) en spiralant (1 pt).

5 Linéarisation d’un pendule amorti / 3 pts

(a) \(y = 0\) et \(\sin x = 0\) donnent \(x = k\pi\) (1 pt).

(b) \(J(x, y) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -4\cos x & -2 \end{pmatrix}\). En \((0,0)\) : \(T = -2\), \(D = 4\), \(\Delta = -12 < 0\) : foyer stable (1 pt). En \((\pi, 0)\) : \(D = -4 < 0\) : col, instable (1 pt).

6 Duhamel / 2 pts

Duhamel : \(y(t) = \int_0^t e^{3(t-s)}\,4e^{-s}\,ds = 4e^{3t}\int_0^t e^{-4s}\,ds = e^{3t}(1 - e^{-4t})\) (1 pt).

Donc \(y(t) = e^{3t} - e^{-t}\) (1 pt).