1 Solution maximale / 4 pts
On considère le problème de Cauchy \(y’ = y^3\), \(y(0) = 2\). (a) Justifie l’existence et l’unicité de la solution maximale. (b) Calcule-la et donne son intervalle de définition.
2 Gronwall / 4 pts
(a) Soit \(u : [0, 1] \to \mathbb{R}_+\) continue avec \(u(t) \leq 0{,}1 + 2\int_0^t u\). Majore \(u(1)\). (b) Soit \(f(t, y) = \cos(2y) + t\). Montre que \(f\) est \(2\)-lipschitzienne en \(y\), puis majore l’écart entre deux solutions de conditions initiales \(0\) et \(0{,}01\) à l’instant \(t = 1{,}5\).
3 Exponentielle et système / 4 pts
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\). (a) Calcule \(\operatorname{tr}A\), \(\det A\) et le polynôme caractéristique. (b) Montre que \(N = A - 2I\) est nilpotente. (c) Calcule \(e^{tA}\) puis résous \(Y’ = AY\), \(Y(0) = (1, 2)\).
4 Portrait de phase / 3 pts
Soit \(A = \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}\). Calcule la trace et le déterminant, détermine la nature de l’origine pour \(Y’ = AY\) et dis si \(\|Y(t)\|\) tend vers \(0\).
5 Linéarisation d’un pendule amorti / 3 pts
On étudie \(x’ = y\), \(y’ = -4\sin x - 2y\). (a) Donne les équilibres de la forme \((k\pi, 0)\). (b) Classe \((0, 0)\) et \((\pi, 0)\) par linéarisation.
6 Duhamel / 2 pts
Résous \(y’ = 3y + 4e^{-t}\) avec \(y(0) = 0\).
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