Équations différentielles : exercices corrigés de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Passer à l’ordre 1 ★★★

On pose \(Y = (y, y’)\). Alors \(Y’ = (y’, y’’) = (y’, -6y - 5y’)\), donc \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -6 & -5 \end{pmatrix}\).

Le polynôme caractéristique est \(\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det A = \lambda^2 + 5\lambda + 6 = (\lambda + 2)(\lambda + 3)\). Les valeurs propres sont \(-2\) et \(-3\).

2 Lipschitz ou pas ? ★★★

1. Oui : \(\big||y_1| - |y_2|\big| \leq |y_1 - y_2|\), constante \(1\) (même globalement).
2. Oui : \(f\) est \(C^1\), donc localement lipschitzienne (pas globalement, car \(f’ = 3y^2\) n’est pas bornée).
3. Non en \(0\) : \(\dfrac{|f(y) - f(0)|}{|y|} = \dfrac{1}{\sqrt{|y|}} \to +\infty\).
4. Oui : \(|\sin y_1 - \sin y_2| \leq |y_1 - y_2|\) par l’inégalité des accroissements finis.

3 Exponentielle d’une diagonale ★★★

Les puissances de \(A\) sont \(\operatorname{diag}(2^k, (-1)^k, 0^k)\), donc \(e^{tA} = \operatorname{diag}(e^{2t}, e^{-t}, 1)\).

Ainsi \(\det(e^{A}) = e^{2} \times e^{-1} \times 1 = e\), ce qui confirme \(\det(e^A) = e^{\operatorname{tr}A}\) avec \(\operatorname{tr}A = 1\).

4 Une matrice nilpotente ★★★

On a \(N^2 = 0\), donc la série s’arrête : \(e^{tN} = I + tN = \begin{pmatrix} 1 & 3t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).

\(Y(t) = e^{tN}(2, 1) = (2 + 3t,\ 1)\). Vérification : \(y_2’ = 0\) et \(y_1’ = 3 = 3y_2\).

5 Une équation à variable séparable ★★★

L’équation est linéaire : \(y’/y = t\), donc \(\ln|y| = t^2/2 + c\) et \(y(t) = 3\,e^{t^2/2}\) (car \(y(0) = 3\)).

\(y(2) = 3\,e^{2} \approx 22{,}17\). Comme \(f(t, y) = ty\) est linéaire en \(y\), la solution maximale est définie sur \(\mathbb{R}\) entier.

6 Équilibres d’une équation logistique ★★★

\(f(x) = 2x - \dfrac{x^2}{2}\) s’annule en \(x = 0\) et \(x = 4\). On a \(f’(x) = 2 - x\).

\(f’(0) = 2 > 0\) : l’équilibre \(0\) est instable. \(f’(4) = -2 < 0\) : l’équilibre \(4\) est asymptotiquement stable.

7 Une explosion ★★★

On sépare les variables : \(-\dfrac{1}{y} = t - \dfrac{1}{2}\), donc \(y(t) = \dfrac{2}{1 - 2t}\).

Le dénominateur s’annule en \(t = 1/2\), et \(y \to +\infty\) quand \(t \to 1/2^{-}\). L’intervalle maximal contenant \(0\) est \(]-\infty, 1/2[\).

8 Estimation par Gronwall ★★★

Par le lemme de Gronwall avec \(a = 0{,}2\) et \(L = 3\) : \(u(2) \leq 0{,}2\,e^{6} \approx 80{,}69\).

Avec \(a = 0\), on obtient \(u(t) \leq 0\), donc \(u = 0\) puisque \(u\) est positive : c’est le mécanisme de l’unicité.

9 Un système symétrique ★★★

Le polynôme caractéristique est \((\lambda - 2)^2 - 1 = (\lambda - 1)(\lambda - 3)\). Vecteurs propres : \((1, -1)\) pour \(1\), \((1, 1)\) pour \(3\).

On trouve \(e^{tA} = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} e^{3t} + e^{t} & e^{3t} - e^{t} \\ e^{3t} - e^{t} & e^{3t} + e^{t} \end{pmatrix}\).

Donc \(Y(t) = e^{tA}(2, 0) = (e^{3t} + e^{t},\ e^{3t} - e^{t})\). On vérifie \(Y(0) = (2, 0)\).

10 Une rotation ★★★

On a \(A = 2J\) avec \(J^2 = -I\). Donc \(A^{2k} = (-1)^k 4^k I\) et \(A^{2k+1} = (-1)^k 4^k A\). En séparant les termes pairs et impairs, \(e^{tA} = \cos(2t)\,I + \sin(2t)\,J\), ce qui est la matrice annoncée.

\(Y(t) = (\cos 2t - \sin 2t,\ \sin 2t + \cos 2t)\). Alors \(\|Y\|^2 = (\cos 2t - \sin 2t)^2 + (\sin 2t + \cos 2t)^2 = 2\) : \(\|Y(t)\| = \sqrt{2}\) pour tout \(t\), la trajectoire est un cercle de rayon \(\sqrt 2\) (centre, stable non asymptotique).

11 Un bloc de Jordan ★★★

\(A = 3I + N\) avec \(N^2 = 0\), donc \(e^{tA} = e^{3t}\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).

\(Y(t) = e^{3t}(t, 1)\), donc \(Y(1) = (e^{3}, e^{3}) \approx (20{,}09,\ 20{,}09)\).

La seule valeur propre est \(3 > 0\) : l’origine est instable.

12 Formule de Duhamel ★★★

\(y(t) = e^{-2t}\cdot 1 + \displaystyle\int_0^t e^{-2(t-s)}\,6e^{s}\,ds = e^{-2t} + 6e^{-2t}\int_0^t e^{3s}\,ds = e^{-2t} + 2e^{-2t}(e^{3t} - 1)\).

Donc \(y(t) = 2e^{t} - e^{-2t}\). Vérification : \(y(0) = 1\) et \(y’ + 2y = 2e^t + 2e^{-2t} + 4e^t - 2e^{-2t} = 6e^t\).

13 Classer trois matrices ★★★

1. \(T = -5\), \(D = 6\), \(\Delta = 25 - 24 = 1 > 0\) : valeurs propres \(-3\) et \(-2\), nœud stable.
2. \(T = -2\), \(D = 1 + 4 = 5\), \(\Delta = 4 - 20 = -16 < 0\) : valeurs propres \(-1 \pm 2i\), foyer stable.
3. \(T = 1\), \(D = -6 < 0\) : valeurs propres \(3\) et \(-2\), col, instable.

14 Non-unicité ★★★

(a) \(z_0’ = 0 = 2\sqrt{0}\). Pour \(z_1\) : si \(t > 0\), \(z_1’ = 2t = 2\sqrt{t^2}\) ; si \(t < 0\), \(z_1’ = 0\) ; en \(0\), les dérivées à gauche et à droite valent \(0\), et \(z_1\) est dérivable.

(b) Le même calcul montre que \(y_c\) est solution pour tout \(c \geq 0\), avec \(y_c(0) = 0\) : il y a une infinité de solutions. Par exemple \(y_1(3) = (3 - 1)^2 = 4\) alors que \(z_0(3) = 0\).

(c) \(f(y) = 2\sqrt{|y|}\) n’est pas lipschitzienne au voisinage de \(0\) : \(f(y)/y = 2/\sqrt{y} \to +\infty\).

15 Solutions maximales ★★★

(a) \(\dfrac{y’}{1 + y^2} = 1\), donc \(\arctan y = t\) et \(y(t) = \tan t\), définie sur \(]-\pi/2, \pi/2[\). Quand \(t \to \pi/2^-\), \(y \to +\infty\) : explosion en temps fini (et \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) tout entier, donc c’est bien \(\|y\| \to \infty\)).

(b) \(\dfrac{y’}{y^2} = t\) donne \(-\dfrac{1}{y} = \dfrac{t^2}{2} + c\) ; avec \(y(0) = 1\), \(c = -1\), donc \(\dfrac{1}{y} = 1 - \dfrac{t^2}{2}\) et \(y(t) = \dfrac{2}{2 - t^2}\).

Le dénominateur s’annule en \(t = \pm\sqrt{2}\) : la solution maximale est définie sur \(]-\sqrt{2}, \sqrt{2}[\) et tend vers \(+\infty\) aux deux bornes.

16 Dépendance continue ★★★

(a) \(\partial_y f = \cos y\) est bornée par \(1\), donc \(f\) est \(1\)-lipschitzienne en \(y\). Pour \(u = |y_1 - y_2|\), \(u(t) \leq u(0) + \int_0^t |f(s, y_1) - f(s, y_2)|\,ds \leq 0{,}05 + \int_0^t u\). Gronwall donne \(u(t) \leq 0{,}05\,e^{t}\).

(b) \(0{,}05\,e^{t} \leq 0{,}5\) équivaut à \(e^{t} \leq 10\), soit \(t \leq \ln 10 \approx 2{,}30\).

17 Démonstration de Gronwall ★★★

On pose \(v(t) = a + L\int_0^t u(s)\,ds\), de classe \(C^1\) car \(u\) est continue, avec \(v’ = Lu\).

Par hypothèse \(u \leq v\), et \(L \geq 0\) donne \(v’ = Lu \leq Lv\). Alors \(\dfrac{d}{dt}\left(v(t)e^{-Lt}\right) = (v’ - Lv)e^{-Lt} \leq 0\) : \(v e^{-Lt}\) est décroissante, donc \(v(t)e^{-Lt} \leq v(0) = a\).

Ainsi \(u(t) \leq v(t) \leq a\,e^{Lt}\).

18 Exponentielle d’un bloc de Jordan 3×3 ★★★

\(N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\), \(N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\), \(N^3 = 0\).

Comme \(2I\) et \(N\) commutent, \(e^{tA} = e^{2t}\left(I + tN + \dfrac{t^2}{2}N^2\right) = e^{2t}\begin{pmatrix} 1 & t & t^2/2 \\ 0 & 1 & t \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\).

\(Y(t) = e^{2t}\left(1 + 2t + \dfrac{3t^2}{2},\ 2 + 3t,\ 3\right)\).

19 Un système de compétition ★★★

(a) \(O(0,0)\), \(P(2,0)\), \(Q(0,3)\) et \(R(1,1)\) (intersection des droites \(x + y = 2\) et \(2x + y = 3\)).

(b) La jacobienne vaut \(J(x, y) = \begin{pmatrix} 2 - 2x - y & -x \\ -2y & 3 - 2x - 2y \end{pmatrix}\).

• \(J(O) = \operatorname{diag}(2, 3)\) : nœud instable.
• \(J(P) = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\), valeurs propres \(-2\) et \(-1\) : nœud stable.
• \(J(Q) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -6 & -3 \end{pmatrix}\), valeurs propres \(-1\) et \(-3\) : nœud stable.
• \(J(R) = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}\), \(T = -2\), \(D = -1 < 0\) : col, instable.

(c) Selon la donnée initiale, une espèce élimine l’autre : on converge vers \(P\) ou vers \(Q\). La coexistence \(R\) est instable, ses variétés stables séparent les bassins d’attraction.

20 Fonction de Lyapunov ★★★

(a) La jacobienne en \((0,0)\) est \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\), de valeurs propres \(\pm i\) (parties réelles nulles) : la linéarisation est un centre et ne permet pas de conclure.

(b) \(\dfrac{d}{dt}V = 2xx’ + 2yy’ = 2x(-y - x^3) + 2y(x - y^3) = -2(x^4 + y^4) < 0\) pour \((x, y) \neq (0, 0)\).

\(V\) est une fonction de Lyapunov stricte : l’origine est asymptotiquement stable.