Dérivation et convexité : corrigé du contrôle de maths Terminale

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Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.

Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice autorisée seulement quand l’énoncé le précise.

Sommaire

\(f'(x) = 5 \times 4\,(4x - 3)^4 = 20(4x - 3)^4\) (1 pt).
\(g'(x) = (2x - 2)\,\mathrm{e}^{x^2 - 2x}\) (1 pt).
\(2x^2 + 3 \gt 0\), \(h\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et \(h'(x) = \dfrac{4x}{2x^2 + 3}\) (1 pt).
\(x^2 + 1 \gt 0\) et \(k'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) (1 pt).

\(f'(x) = -\mathrm{e}^{x} + (2 - x)\mathrm{e}^{x} = (1 - x)\mathrm{e}^{x}\) (1 pt).
\(\mathrm{e}^{x} \gt 0\), donc \(f'\) est du signe de \(1 - x\) : \(f\) croît sur \(]-\infty\,;1]\), décroît sur \([1\,;+\infty[\) (1 pt) ; maximum \(f(1) = \mathrm{e}\) (0,5 pt).
\(f''(x) = -\mathrm{e}^{x} + (1 - x)\mathrm{e}^{x} = -x\,\mathrm{e}^{x}\) (0,5 pt). Elle est positive pour \(x \lt 0\) : \(f\) est convexe sur \(]-\infty\,;0]\) et concave sur \([0\,;+\infty[\) (1 pt).
\(f''\) change de signe en \(0\) : le point \((0\,;2)\) est un point d’inflexion (0,5 pt). La tangente est \(y = f'(0)\,x + f(0) = x + 2\) (0,5 pt).

L’autre côté mesure \(\dfrac{200}{x}\), donc \(P(x) = 2x + \dfrac{400}{x}\) (1 pt).
\(P'(x) = 2 - \dfrac{400}{x^2} = \dfrac{2x^2 - 400}{x^2}\), du signe de \(x^2 - 200\) : négative avant \(x = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\), positive après. \(P\) décroît puis croît (2 pts).
Le minimum est atteint pour \(x = 10\sqrt{2} \approx 14{,}1\) m, l’autre côté vaut \(\dfrac{200}{10\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}\) : le terrain est un carré. Le périmètre minimal est \(40\sqrt{2} \approx 56{,}6\) m (1 pt).

\(g'(x) = 4x^3 - 12x\) et \(g''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x - 1)(x + 1)\) (1 pt).
\(g''\) est positive sur \(]-\infty\,;-1]\) et sur \([1\,;+\infty[\) (convexe), négative sur \([-1\,;1]\) (concave) (1 pt). Elle change de signe en \(-1\) et en \(1\), avec \(g(\pm 1) = 1 - 6 + 5 = 0\) : points d’inflexion \((-1\,;0)\) et \((1\,;0)\) (1 pt).
\(g(1) = 0\) et \(g'(1) = 4 - 12 = -8\) : tangente \(y = -8(x - 1) = -8x + 8\) (1 pt).

\(f'(x) = \dfrac{1}{2}x^{-1/2}\) et \(f''(x) = -\dfrac{1}{4}x^{-3/2} = -\dfrac{1}{4x\sqrt{x}} \lt 0\) : \(f\) est concave (1 pt).
\(f(4) = 2\), \(f'(4) = \dfrac{1}{4}\) : \(y = \dfrac{1}{4}(x - 4) + 2 = \dfrac{x}{4} + 1\) (1 pt).
La courbe d’une fonction concave est au-dessous de ses tangentes, donc \(\sqrt{x} \leqslant \dfrac{x}{4} + 1\). Pour \(x = 5\) : \(\sqrt{5} \leqslant \dfrac{5}{4} + 1 = 2{,}25\) (1 pt).

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