Dérivation et convexité : exercices corrigés de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Dérivées usuelles ★★★

\(f'(x) = 15x^2 - 2\). \(g'(x) = 8x + \dfrac{1}{x^2}\). \(h'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{x}}\). \(k'(x) = -2\sin x - 3\cos x\).

2 Première composée ★★★

\(f'(x) = 5 \times 2\,(2x + 1)^4 = 10(2x + 1)^4\). \(g'(x) = 3\mathrm{e}^{3x}\). \(h'(x) = 4\cos(4x)\).

Pour \(k\) : \(k'(x) = \dfrac{5}{5x} = \dfrac{1}{x}\) (on retrouve la dérivée de \(\ln x\), car \(\ln(5x) = \ln 5 + \ln x\)).

3 Lire un signe ★★★

Le produit \((x + 3)(x - 2)\) est un trinôme de coefficient dominant positif, de racines \(-3\) et \(2\). Il est positif pour \(x \leqslant -3\), négatif pour \(-3 \leqslant x \leqslant 2\) et positif pour \(x \geqslant 2\).

Donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;-3]\), décroissante sur \([-3\,;2]\), croissante sur \([2\,;+\infty[\).

4 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux : \((\mathrm{e}^{x^2})' = 2x\,\mathrm{e}^{x^2}\), il manque le facteur \(u' = 2x\).
2. Vrai : \(f''(x) = 2 \gt 0\).
3. Faux : \(\ln''(x) = -\dfrac{1}{x^2} \lt 0\), le logarithme est concave.
4. Faux : pour \(f(x) = x^4\), \(f''(0) = 0\) mais \(f'' = 12x^2\) ne change pas de signe.

5 Dérivée seconde d’un polynôme ★★★

\(f'(x) = 3x^2 - 12x + 2\) et \(f''(x) = 6x - 12 = 6(x - 2)\).

\(f'' \lt 0\) pour \(x \lt 2\) : \(f\) est concave sur \(]-\infty\,;2]\). \(f'' \gt 0\) pour \(x \gt 2\) : \(f\) est convexe sur \([2\,;+\infty[\). \(f''\) change de signe en \(2\), et \(f(2) = 8 - 24 + 4 = -12\) : le point d’inflexion est \((2\,;\,-12)\).

6 Équation d’une tangente ★★★

\(f(2) = 4 - 6 + 1 = -1\), \(f'(x) = 2x - 3\) donc \(f'(2) = 1\). La tangente est \(y = 1\times(x - 2) - 1 = x - 3\).

\(f(x) - (x - 3) = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \geqslant 0\) : la courbe est au-dessus de sa tangente (ce qui est normal : \(f'' = 2 \gt 0\), \(f\) est convexe).

7 Une cuvette et son minimum ★★★

\(f'(x) = \mathrm{e}^{x} - 1\). Comme \(\mathrm{e}^{x} \lt 1\) pour \(x \lt 0\) et \(\mathrm{e}^{x} \gt 1\) pour \(x \gt 0\), \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\) et croissante sur \([0\,;+\infty[\) ; son minimum est \(f(0) = 1\).

\(f''(x) = \mathrm{e}^{x} \gt 0\) : \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

8 Produit et composée ★★★

\(f'(x) = 1 \times \mathrm{e}^{-2x} + x \times (-2)\mathrm{e}^{-2x} = (1 - 2x)\,\mathrm{e}^{-2x}\).

Comme \(\mathrm{e}^{-2x} \gt 0\), \(f'\) est du signe de \(1 - 2x\) : positive avant \(\dfrac{1}{2}\), négative après. \(f\) croît sur \(]-\infty\,;\dfrac{1}{2}]\), décroît ensuite, et son maximum est \(f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-1} = \dfrac{1}{2\mathrm{e}} \approx 0{,}18\).

9 Un logarithme composé ★★★

\(f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}\), du signe de \(x\) : \(f\) décroît sur \(]-\infty\,;0]\), croît sur \([0\,;+\infty[\), minimum \(f(0) = 0\).

\(f''(x) = \dfrac{2(x^2 + 1) - 2x \times 2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{2(1 - x)(1 + x)}{(x^2 + 1)^2}\).

\(f''\) est positive sur \([-1\,;1]\) (\(f\) convexe) et négative en dehors (\(f\) concave). Elle change de signe en \(-1\) et en \(1\) : points d’inflexion \((-1\,;\ln 2)\) et \((1\,;\ln 2)\).

10 Puissance d’un trinôme ★★★

Le discriminant de \(x^2 - 4x + 5\) vaut \(16 - 20 = -4 \lt 0\) et le coefficient dominant est positif : le trinôme est strictement positif sur \(\mathbb{R}\).

\(f'(x) = 3(2x - 4)(x^2 - 4x + 5)^2 = 6(x - 2)(x^2 - 4x + 5)^2\). Le carré est strictement positif, donc \(f'\) est du signe de \(x - 2\) : \(f\) décroît sur \(]-\infty\,;2]\) puis croît. Le minimum est \(f(2) = (4 - 8 + 5)^3 = 1\).

11 Racine carrée composée ★★★

\(f'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{3x + 4}}\). En \(a = 7\) : \(f(7) = \sqrt{25} = 5\) et \(f'(7) = \dfrac{3}{10} = 0{,}3\). La tangente est \(y = 0{,}3(x - 7) + 5 = 0{,}3x + 2{,}9\).

\(f'(x) = \dfrac{3}{2}(3x + 4)^{-1/2}\) donc \(f''(x) = \dfrac{3}{2} \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) \times 3\,(3x + 4)^{-3/2} = -\dfrac{9}{4(3x + 4)\sqrt{3x + 4}} \lt 0\) : \(f\) est concave, sa courbe est au-dessous de ses tangentes. Ainsi \(\sqrt{3x + 4} \leqslant 0{,}3x + 2{,}9\) ; par exemple en \(x = 0\) : \(2 \leqslant 2{,}9\).

12 Deux points d’inflexion ★★★

\(f'(x) = 4x^3 - 12x^2\) et \(f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)\).

\(f''\) est positive sur \(]-\infty\,;0]\), négative sur \([0\,;2]\), positive sur \([2\,;+\infty[\). \(f\) est donc convexe sur \(]-\infty\,;0]\), concave sur \([0\,;2]\), convexe sur \([2\,;+\infty[\).

Il y a deux points d’inflexion : \((0\,;0)\) et \((2\,;-16)\), car \(f(2) = 16 - 32 = -16\).

13 Lire la courbe d’une dérivée ★★★

1. \(f'\) est positive sur \(]-\infty\,;1]\), négative sur \([1\,;3]\), positive sur \([3\,;+\infty[\). Donc \(f\) croît, puis décroît, puis croît.
2. La courbe de \(f'\) descend jusqu’à son minimum en \(x = 2\), puis remonte : \(f'\) est décroissante sur \(]-\infty\,;2]\) (donc \(f\) concave) et croissante sur \([2\,;+\infty[\) (donc \(f\) convexe). On le confirme par \(f''(x) = 2x - 4\).
3. Oui : \(f''\) s’annule en changeant de signe en \(x = 2\), il y a un point d’inflexion d’abscisse \(2\).

14 L’enclos contre le mur ★★★

Le côté parallèle au mur mesure \(60 - 2x\). L’aire est \(A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2\).

\(A'(x) = 60 - 4x\), positive pour \(x \lt 15\) et négative pour \(x \gt 15\) : \(A\) croît puis décroît, avec un maximum en \(x = 15\) valant \(A(15) = 15 \times 30 = 450\).

L’aire maximale est de \(450\) m², pour des côtés de \(15\) m et \(30\) m.

15 Un encadrement du logarithme ★★★

1. \(f'(x) = \dfrac{1}{x}\) et \(f''(x) = -\dfrac{1}{x^2} \lt 0\) : \(f\) est concave.
2. \(f(1) = 0\) et \(f'(1) = 1\) : tangente \(y = x - 1\). Une fonction concave a sa courbe au-dessous de ses tangentes, donc \(\ln x \leqslant x - 1\).
3. On applique (b) au réel \(\dfrac{1}{x} \gt 0\) : \(\ln\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{x} - 1\), soit \(-\ln x \leqslant \dfrac{1}{x} - 1\), donc \(\ln x \geqslant 1 - \dfrac{1}{x}\).
4. Avec \(x = 1{,}2\) : \(1 - \dfrac{1}{1{,}2} = \dfrac{1}{6} \leqslant \ln 1{,}2 \leqslant 0{,}2\), soit \(0{,}166 \lt \ln 1{,}2 \lt 0{,}2\) environ.

16 La boîte dans une feuille carrée ★★★

1. La base est un carré de côté \(36 - 2x\) et la hauteur est \(x\) : \(V(x) = x(36 - 2x)^2\).
2. \(V'(x) = (36 - 2x)^2 + x \times 2 \times (-2)(36 - 2x) = (36 - 2x)\big[(36 - 2x) - 4x\big] = (36 - 2x)(36 - 6x)\).
3. Sur \(]0\,;18[\), \(36 - 2x \gt 0\) donc \(V'\) est du signe de \(36 - 6x\) : positive pour \(x \lt 6\), négative pour \(x \gt 6\). \(V\) est croissante puis décroissante, maximale en \(x = 6\), avec \(V(6) = 6 \times 24^2 = 3456\).

Le volume maximal est de \(3456\) cm³, pour des carrés de \(6\) cm.

17 Sinus de 2x ★★★

\(f'(x) = 2\cos(2x)\). Sur \([0\,;\pi]\), \(2x \in [0\,;2\pi]\) et \(\cos(2x) = 0\) pour \(2x = \dfrac{\pi}{2}\) ou \(\dfrac{3\pi}{2}\), c’est-à-dire \(x = \dfrac{\pi}{4}\) ou \(\dfrac{3\pi}{4}\).

\(f'\) est positive sur \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{4}\right]\), négative sur \(\left[\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{3\pi}{4}\right]\), positive sur \(\left[\dfrac{3\pi}{4}\,;\pi\right]\). \(f\) passe de \(0\) à son maximum \(f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1\), descend à son minimum \(f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = -1\), puis remonte à \(0\).

\(f''(x) = -4\sin(2x)\), négative sur \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\) (concave) et positive sur \(\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right]\) (convexe). Le point \(\left(\dfrac{\pi}{2}\,;0\right)\) est un point d’inflexion.

18 Exponentielle et deux inflexions ★★★

1. \(f'(x) = (2x - 2)\mathrm{e}^{x} + (x^2 - 2x)\mathrm{e}^{x} = (x^2 - 2)\mathrm{e}^{x}\). Elle est du signe de \(x^2 - 2\), nul en \(\pm\sqrt{2}\), positif à l’extérieur : \(f\) croît sur \(]-\infty\,;-\sqrt{2}]\), décroît sur \([-\sqrt{2}\,;\sqrt{2}]\), croît sur \([\sqrt{2}\,;+\infty[\). Maximum local \(f(-\sqrt{2}) = (2 + 2\sqrt{2})\mathrm{e}^{-\sqrt{2}}\), minimum local \(f(\sqrt{2}) = (2 - 2\sqrt{2})\mathrm{e}^{\sqrt{2}}\).
2. \(f''(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x} + (x^2 - 2)\mathrm{e}^{x} = (x^2 + 2x - 2)\mathrm{e}^{x}\).
3. \(x^2 + 2x - 2\) a pour discriminant \(4 + 8 = 12\) et pour racines \(-1 - \sqrt{3}\) et \(-1 + \sqrt{3}\). Il est positif à l’extérieur des racines : \(f\) est convexe sur \(]-\infty\,;-1-\sqrt{3}]\) et sur \([-1+\sqrt{3}\,;+\infty[\), concave entre les deux. Les points d’inflexion ont pour abscisses \(-1 - \sqrt{3}\) et \(-1 + \sqrt{3}\).

19 Coût moyen minimal ★★★

\(f'(x) = 0{,}5 - \dfrac{8}{x^2} = \dfrac{x^2 - 16}{2x^2}\), du signe de \(x^2 - 16\) sur \([1\,;20]\) : négative pour \(x \lt 4\), positive pour \(x \gt 4\).

\(f\) décroît sur \([1\,;4]\) puis croît sur \([4\,;20]\). Le minimum est \(f(4) = 2 + 2 + 3 = 7\).

Il faut produire \(400\) pièces par jour, pour un coût moyen de \(7\) € par pièce. De plus \(f''(x) = \dfrac{16}{x^3} \gt 0\) : \(f\) est convexe, ce qui confirme que le point critique est un minimum.

20 Quand la tangente traverse la courbe ★★★

1. \(f'(x) = 3(x - 1)^2\) et \(f''(x) = 6(x - 1)\). \(f'(1) = 0\).
2. \(f(1) = 2\) : la tangente est \(y = 2\). \(f(x) - 2 = (x - 1)^3\) est négatif pour \(x \lt 1\) et positif pour \(x \gt 1\) : la courbe passe sous la tangente puis au-dessus. Elle la traverse : c’est un point d’inflexion (\(f''\) change de signe en \(1\)).
3. Non : \(f'(x) = 3(x - 1)^2 \geqslant 0\) ne change pas de signe, \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\). Une dérivée nulle ne suffit pas pour avoir un extremum.