1 Calculs de dérivées / 4 pts
Dérive chacune des fonctions suivantes (ensemble de définition à préciser si nécessaire) :
- \(f(x) = (4x - 3)^5\)
- \(g(x) = \mathrm{e}^{x^2 - 2x}\)
- \(h(x) = \ln(2x^2 + 3)\)
- \(k(x) = \sqrt{x^2 + 1}\)
2 Étude complète / 5 pts
Soit \(f(x) = (2 - x)\,\mathrm{e}^{x}\) sur \(\mathbb{R}\).
- Calcule \(f'(x)\) et montre que \(f'(x) = (1 - x)\mathrm{e}^{x}\).
- Dresse le tableau de variations de \(f\) et donne son extremum.
- Calcule \(f''(x)\) et étudie la convexité de \(f\).
- Déduis-en le point d’inflexion et l’équation de la tangente en ce point.
3 Le terrain de surface donnée / 4 pts
On veut clôturer un terrain rectangulaire de \(200\) m² avec le moins de grillage possible. On note \(x\) la longueur (en m) d’un côté, avec \(x \gt 0\).
- Exprime le périmètre \(P(x)\) en fonction de \(x\).
- Étudie les variations de \(P\) (calcule \(P'\)).
- Conclus : dimensions du terrain et périmètre minimal, arrondi au dixième.
4 Convexité d’un polynôme / 4 pts
Soit \(g(x) = x^4 - 6x^2 + 5\) sur \(\mathbb{R}\).
- Calcule \(g''(x)\) et factorise-la.
- Étudie la convexité de \(g\) et donne ses points d’inflexion.
- Détermine l’équation de la tangente à la courbe de \(g\) au point d’abscisse \(1\).
5 Une majoration de la racine / 3 pts
Soit \(f(x) = \sqrt{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\).
- Calcule \(f''(x)\) et justifie que \(f\) est concave.
- Détermine la tangente en \(a = 4\).
- Déduis-en que \(\sqrt{x} \leqslant \dfrac{x}{4} + 1\) pour tout \(x \gt 0\), puis majore \(\sqrt{5}\).
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