1 Un trinôme / 3 pts
Soit \(f(x) = 2x^2 - 12x + 7\) sur \(\mathbb{R}\).
- Calcule \(f'(x)\) et étudie son signe.
- Dresse le tableau de variations de \(f\).
- Donne le minimum de \(f\) et la valeur où il est atteint.
2 Un polynôme de degré 3 / 3 pts
Soit \(g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1\) sur \([-1\,;\,4]\).
- Montre que \(g'(x) = 3(x - 1)(x - 3)\).
- Dresse le tableau de variations de \(g\) avec toutes les images.
- Donne le maximum et le minimum de \(g\) sur \([-1\,;\,4]\).
3 Vrai ou faux ? / 3 pts
Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, avec une justification.
- La fonction \(h(x) = x^3 + 4x\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).
- Si \(f'(2) = 0\), alors \(f\) admet un extremum local en \(2\).
- La fonction \(k(x) = -x^2 + 4x\) est croissante sur \([0\,;\,1]\).
4 Extremums sur un intervalle / 4 pts
Soit \(k(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\) sur \([-2\,;\,4]\).
- Calcule \(k'(x)\) et factorise-la.
- Étudie le signe de \(k'\) et dresse le tableau de variations complet.
- Donne le maximum et le minimum globaux de \(k\), et les valeurs de \(x\) correspondantes.
5 Un partage optimal / 4 pts
On cherche deux nombres positifs \(x\) et \(y\) tels que \(x + y = 12\) pour lesquels le produit \(P = x^2 y\) est le plus grand possible.
- Exprime \(P\) en fonction de \(x\) et précise l’intervalle de variation de \(x\). On note \(f\) cette fonction.
- Calcule \(f'(x)\), factorise-la et étudie son signe.
- Dresse le tableau de variations de \(f\).
- Conclus : quelles valeurs de \(x\) et \(y\), et quelle valeur maximale de \(P\) ?
6 Position relative / 3 pts
Soit \(f(x) = x^2 - 2x + 5\) et \(g(x) = 4x - 3\).
- Montre que \(f(x) - g(x) = (x - 2)(x - 4)\).
- Étudie le signe de \(f(x) - g(x)\) et déduis la position relative des courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\).
- Donne les coordonnées de leurs points communs.
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