Dérivation : corrigé du contrôle de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Dérivées de fonctions / 3 pts

1. \(f'(x) = 6x^2 - 7\) (1 pt).
2. \(g'(x) = 6x - \dfrac{5}{2\sqrt{x}}\) (1 pt).
3. \(h'(x) = 2x(x - 5) + (x^2 + 1) = 3x^2 - 10x + 1\) (1 pt).

2 Un quotient et sa tangente / 4 pts

1. \(f'(x) = \dfrac{4(x + 2) - (4x - 3)}{(x + 2)^2} = \dfrac{11}{(x + 2)^2}\) (2 pts).
2. \(f'(x) > 0\) sur l’intervalle, donc \(f\) est strictement croissante (1 pt).
3. \(f(0) = -\dfrac32\) et \(f'(0) = \dfrac{11}{4}\), donc \(y = \dfrac{11}{4}x - \dfrac32\) (1 pt).

3 Définition du nombre dérivé / 3 pts

\(f(3) = 15\) et \(f(3 + h) = 2(9 + 6h + h^2) - 3 - h = 15 + 11h + 2h^2\) (1 pt).

Le taux vaut \(\dfrac{11h + 2h^2}{h} = 11 + 2h\) (1 pt). Quand \(h\) tend vers \(0\), il tend vers \(11\) : \(f'(3) = 11\) (1 pt).

4 Fonctions composées / 3 pts

\(g'(x) = 2 \times 5(2x - 3)^4 = 10(2x - 3)^4\) (1,5 pt).

\(k'(x) = 5 \times \dfrac{1}{2\sqrt{5x + 4}} = \dfrac{5}{2\sqrt{5x + 4}}\) (1,5 pt).

5 Étude de variations / 4 pts

1. \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)\) (1 pt).
2. \(f'\) est positive pour \(x < 1\) et \(x > 3\), négative entre \(1\) et \(3\) (1,5 pt).
3. \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,1]\), décroissante sur \([1\,;\,3]\), croissante sur \([3\,;\,+\infty[\) ; \(f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5\) (maximum local) et \(f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1\) (minimum local) (1,5 pt).

6 Le bénéfice de l’artisan / 3 pts

\(B'(x) = -4x + 16\) (1 pt). \(B'\) est positive pour \(x < 4\) et négative pour \(x > 4\) : \(B\) croît puis décroît (1 pt).

Le maximum est \(B(4) = -32 + 64 - 14 = 18\) : pour \(40\) bougies, le bénéfice maximal est de \(180\) euros (1 pt).