Dérivation : exercices de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Un taux de variation ★★★

Soit \(f(x) = x^2 + 1\). Calcule le taux de variation de \(f\) entre \(1\) et \(4\).

2 Taux d’une fonction affine ★★★

Soit \(f(x) = 3x - 2\). Calcule le taux de variation de \(f\) entre \(-1\) et \(5\). Que remarques-tu ?

3 Dérivées usuelles ★★★

Donne la dérivée de : \(f(x) = x^5\) ; \(g(x) = x^7\) ; \(h(x) = 12\) ; \(k(x) = \dfrac{1}{x}\) ; \(m(x) = \sqrt{x}\). Calcule ensuite \(f'(2)\) et \(g'(1)\).

4 Dériver un polynôme ★★★

Dérive \(f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 7x - 9\) puis calcule \(f'(1)\).

5 Où la dérivée s’annule-t-elle ? ★★★

Soit \(g(x) = x^2 - 6x + 2\). Calcule \(g'(x)\), puis \(g'(3)\) et \(g'(0)\).

6 Équation de tangente donnée ★★★

On sait que \(f(4) = 3\) et \(f'(4) = 2\). Écris l’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(4\).

7 Lire un nombre dérivé ★★★

On a tracé la courbe de \(f(x) = x^2 - 2x\) et sa tangente \(T\) au point \(A(2\,;\,0)\), qui passe aussi par \(B(3\,;\,2)\).

1. Lis graphiquement \(f'(2)\) à l’aide de la tangente.
2. Vérifie par le calcul.

8 Nombre dérivé par la définition ★★★

Soit \(f(x) = x^2 + x\). Calcule \(\dfrac{f(3+h) - f(3)}{h}\) pour \(h \neq 0\), puis détermine \(f'(3)\).

9 Tangente à une cubique ★★★

Soit \(f(x) = x^3\). Détermine l’équation de la tangente à sa courbe au point d’abscisse \(2\).

10 Dérivée d’un produit ★★★

Dérive \(f(x) = (x^2 + 1)(3x - 4)\) avec la formule du produit, puis contrôle en développant d’abord.

11 Dérivée d’un quotient ★★★

Soit \(f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3}\) définie sur \(]-3\,;\,+\infty[\). Calcule \(f'(x)\) puis \(f'(0)\).

12 Composée avec une fonction affine ★★★

Dérive \(f(x) = (5x + 2)^3\) puis calcule \(f'(0)\). Dérive aussi \(g(x) = \sqrt{3x + 1}\) sur \(\left]-\dfrac13\,;\,+\infty\right[\).

13 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

1. La dérivée de \(x^2 \times x^3\) est \(2x \times 3x^2\).
2. La dérivée de \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) est \(x \mapsto \dfrac{1}{x^2}\).
3. Si \(f(x) = -4x + 1\), alors \(f'(x) = -4\) pour tout réel \(x\).

14 Tangente horizontale ★★★

Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 7\). Trouve le point de la courbe où la tangente est horizontale et donne l’équation de cette tangente.

15 La vitesse du ballon ★★★

Un ballon est lancé vers le haut. Sa hauteur (en mètres) à l’instant \(t\) (en secondes), pour \(t \in [0\,;\,4]\), est \(h(t) = -5t^2 + 20t\). Sa vitesse instantanée est \(h'(t)\).

1. Calcule \(h'(t)\), puis la vitesse à \(t = 1\) et à \(t = 3\). Interprète le signe.
2. À quel instant le ballon est-il au plus haut, et à quelle hauteur ?

16 Taux et dérivée de l’inverse ★★★

Soit \(f(x) = \dfrac{1}{x}\). Calcule le taux \(\dfrac{f(2+h) - f(2)}{h}\) pour \(h \neq 0\) et \(h > -2\), puis déduis \(f'(2)\).

17 Tangente à une fonction homographique ★★★

Soit \(f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 1}\) sur \(]1\,;\,+\infty[\). Calcule \(f'(x)\), puis donne l’équation de la tangente au point d’abscisse \(2\).

18 Tangentes issues d’un point ★★★

Soit \(f(x) = x^2\) et \(P(1\,;\,-3)\). Le point \(P\) n’est pas sur la courbe. Trouve les tangentes à la courbe qui passent par \(P\). Indice : écris la tangente au point d’abscisse \(a\) et impose qu’elle passe par \(P\).

19 Étude d’une fonction de degré 3 ★★★

Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\) sur \(\mathbb{R}\). Calcule \(f'(x)\), factorise-la, dresse le tableau de variations et donne les extrema locaux.

20 Le potager le plus grand ★★★

Léa dispose de \(40\) m de grillage pour clôturer un potager rectangulaire. On note \(x\) la largeur, en mètres, avec \(x \in [0\,;\,20]\).

1. Exprime la longueur en fonction de \(x\), puis l’aire \(A(x)\).
2. Étudie les variations de \(A\) et déduis les dimensions de l’aire maximale.

21 Produit avec une racine carrée ★★★

Soit \(f(x) = (x + 1)\sqrt{x}\) sur \(]0\,;\,+\infty[\). Montre que \(f'(x) = \dfrac{3x + 1}{2\sqrt{x}}\).