Variations et extremums : exercices de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Une parabole à étudier ★★★

Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 4\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Calcule \(f'(x)\) et étudie son signe.
2. Dresse le tableau de variations de \(f\).
3. Quel est le minimum de \(f\) ? Pour quelle valeur de \(x\) est-il atteint ?

2 Lecture d’une courbe ★★★

On a tracé ci-dessous la courbe d’une fonction \(u\) sur \([-2\,;\,2]\).

1. Lis les intervalles sur lesquels \(u\) est croissante, puis décroissante.
2. Dresse le tableau de variations de \(u\) avec les valeurs lues.
3. Donne ses extremums locaux.

3 Du signe de la dérivée aux variations ★★★

Une fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et sa dérivée est \(f'(x) = (x - 2)(x + 3)\).

1. Étudie le signe de \(f'(x)\).
2. Dresse le tableau de variations de \(f\) (sans les images).
3. En quelles valeurs \(f\) admet-elle un extremum local ? De quelle nature ?

4 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie.

1. La fonction \(f(x) = x^3 + x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
2. La fonction \(g(x) = x^2\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).
3. La fonction \(h(x) = -3x + 7\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).
4. Si \(f'(a) = 0\), alors \(f\) admet un extremum local en \(a\).

5 Le point le plus bas ★★★

Soit \(f(x) = 2x^2 + 8x - 1\) définie sur \(\mathbb{R}\).

1. Calcule \(f'(x)\) et dresse le tableau de variations de \(f\).
2. Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f(x) \geqslant -9\).

6 Deux extremums sur un intervalle ★★★

Soit \(f(x) = x^3 - 27x\) sur \([-4\,;\,4]\).

1. Calcule \(f'(x)\) et factorise-la.
2. Dresse le tableau de variations complet.
3. Donne le maximum et le minimum de \(f\) sur \([-4\,;\,4]\).

7 Un ballon lancé en l’air ★★★

La hauteur (en mètres) d’un ballon lancé vers le haut est \(h(t) = -5t^2 + 20t + 2\) pour \(t\) en secondes, \(t \in [0\,;\,4]\).

1. Calcule \(h'(t)\) et étudie son signe.
2. À quel instant le ballon est-il le plus haut ? Quelle est alors sa hauteur ?
3. Quelle est sa hauteur minimale sur \([0\,;\,4]\) ?

8 Maximiser un bénéfice ★★★

Un atelier de céramique fabrique \(x\) centaines de bols par semaine, \(x \in [0\,;\,15]\). Son bénéfice, en centaines d’euros, est \(B(x) = -2x^2 + 36x - 60\).

1. Étudie les variations de \(B\) sur \([0\,;\,15]\).
2. Combien de bols faut-il fabriquer pour que le bénéfice soit maximal ? Quel est-il ?

9 Un trinôme au-dessus d’une droite ★★★

Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 7\) et \(g(x) = x + 1\).

1. Vérifie que \(f(x) - g(x) = (x - 2)(x - 3)\).
2. Étudie le signe de \(f(x) - g(x)\).
3. En déduire la position relative des courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\), et leurs points d’intersection.

10 La boîte de volume maximal ★★★

Dans un carré de carton de \(12\) cm de côté, on découpe quatre carrés de côté \(x\) cm aux quatre coins, puis on plie pour obtenir une boîte sans couvercle.

1. Entre quelles valeurs \(x\) peut-il varier ?
2. Montre que le volume est \(V(x) = x(12 - 2x)^2 = 4x^3 - 48x^2 + 144x\).
3. Calcule \(V'(x)\), factorise-la et dresse le tableau de variations.
4. Quelle valeur de \(x\) donne le volume maximal ? Quel est-il ?

11 Plusieurs extrema, un seul maximum ★★★

Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) sur \([-1\,;\,3]\).

1. Calcule \(f'(x)\) et dresse le tableau de variations.
2. Donne le maximum et le minimum globaux de \(f\) sur \([-1\,;\,3]\), et les valeurs de \(x\) où ils sont atteints.

12 Une inégalité grâce au minimum ★★★

Démontre que, pour tout réel \(x\), on a \(x^2 - 4x + 9 \geqslant 5\). Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on l’égalité ?

13 Retrouver les coefficients ★★★

Soit \(f(x) = x^2 + bx + c\), où \(b\) et \(c\) sont deux réels. On sait que \(f\) admet un minimum égal à \(1\), atteint en \(x = 3\). Détermine \(b\) et \(c\).

14 La dérivée s’annule, mais… ★★★

Soit \(f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Montre que \(f'(x) = 3(x+1)^2\).
2. Étudie le signe de \(f'\) et déduis le sens de variation de \(f\).
3. La fonction admet-elle un extremum local en \(-1\) ? Justifie.

15 Étude complète d’un polynôme ★★★

Soit \(p(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 2\) sur \([-2\,;\,4]\).

1. Montre que \(p'(x) = -3(x - 3)(x + 1)\).
2. Dresse le tableau de variations complet de \(p\).
3. Donne le maximum et le minimum de \(p\) sur \([-2\,;\,4]\).
4. Combien l’équation \(p(x) = 20\) a-t-elle de solutions sur \([-2\,;\,4]\) ? Justifie avec le tableau.

16 Le rectangle inscrit ★★★

Dans un repère, on considère la parabole d’équation \(y = 9 - x^2\). Pour \(x \in [0\,;\,3]\), on construit le rectangle dont deux sommets sont sur l’axe des abscisses, en \((-x\,;\,0)\) et \((x\,;\,0)\), et deux sommets sur la parabole.

1. Montre que l’aire du rectangle est \(A(x) = 18x - 2x^3\).
2. Étudie les variations de \(A\) sur \([0\,;\,3]\).
3. Pour quelle valeur de \(x\) l’aire est-elle maximale ? Donne la valeur exacte de cette aire puis une valeur approchée au centième.

17 Un cube et une parabole ★★★

Soit \(f(x) = x^3\) et \(g(x) = 3x^2 - 4\). Voici leurs courbes.

1. Montre que \(f(x) - g(x) = (x + 1)(x - 2)^2\).
2. Étudie le signe de \(f(x) - g(x)\).
3. Déduis-en la position relative des deux courbes et leurs points communs. Que remarque-t-on en \(x = 2\) ?

18 Pas d’extremum global sur \(\mathbb{R}\) ★★★

Soit \(f(x) = x^3 - 3x\) sur \(\mathbb{R}\). On a vu que \(f\) admet un maximum local \(2\) en \(-1\) et un minimum local \(-2\) en \(1\).

1. Calcule \(f(10)\) et \(f(-10)\).
2. Le maximum local \(2\) est-il un maximum global sur \(\mathbb{R}\) ? Et le minimum local \(-2\) ?
3. On restreint l’étude à l’intervalle \([-2\,;\,2]\). Les valeurs \(2\) et \(-2\) y sont-elles des extremums globaux ? Justifie avec le tableau de variations.

19 Un paramètre dans la fonction ★★★

Pour tout réel \(a > 0\), on définit \(f_a(x) = x^3 - 3ax\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Calcule \(f_a'(x)\) et montre qu’elle s’annule en \(-\sqrt{a}\) et en \(\sqrt{a}\).
2. Étudie son signe, puis précise la nature des extremums locaux.
3. Calcule le maximum local en fonction de \(a\), puis détermine \(a\) pour qu’il soit égal à \(16\).

20 Le point de la parabole le plus proche ★★★

Dans un repère orthonormé, on considère le point \(A(0\,;\,3)\) et le point \(M(x\,;\,x^2)\) de la parabole d’équation \(y = x^2\).

1. Montre que \(AM^2 = x^4 - 5x^2 + 9\).
2. Étudie les variations de \(g(x) = x^4 - 5x^2 + 9\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Déduis-en la plus petite distance \(AM\), valeur exacte puis approchée au centième.