Calcul littéral et factorisation : exercices corrigés de maths 3ème à télécharger en PDF

1 Distribuer un facteur ★★★

\(4(x+7)=4x+28\) ; \(-3(2x-5)=-6x+15\) (le signe moins change les deux signes) ; \(x(x+9)=x^2+9x\).

2 Distribuer avec des lettres ★★★

\(2x(3x-4)=6x^2-8x\) ; \(-5a(a+2b)=-5a^2-10ab\) ; \(x(x^2-4x+1)=x^3-4x^2+x\).

3 Réduire une expression ★★★

\(3x+5x-2x=6x\) ; \(4x^2+7x-x^2+2x=3x^2+9x\) ; \(5a-3+2a+8=7a+5\). On ne mélange jamais \(x^2\) et \(x\).

4 Un facteur commun évident ★★★

\(6x+9=3(2x+3)\) ; \(8x^2-12x=4x(2x-3)\) ; \(15a+10=5(3a+2)\).

5 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vraie : distributivité simple.
2. Fausse : pour \(x=1\), \((1+3)^2=16\) alors que \(1^2+9=10\). Il manque le double produit : \((x+3)^2=x^2+6x+9\).
3. Vraie : c’est l’identité \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) avec \(a=x\) et \(b=2\).

6 Tester une égalité ★★★

\(3(2+4)=3 \times 6=18\) et \(3 \times 2+4=10\). Comme \(18 \neq 10\), les deux expressions ne sont pas égales : un seul contre-exemple suffit à prouver qu’une égalité est fausse. La bonne écriture est \(3(x+4)=3x+12\).

7 Produit nul élémentaire ★★★

Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul : \(x-3=0\) ou \(x+8=0\), donc \(x=3\) ou \(x=-8\). Les solutions sont \(3\) et \(-8\).

8 Double distributivité ★★★

\((x+5)(x+2)=x^2+2x+5x+10=x^2+7x+10\).

\((x-4)(x+6)=x^2+6x-4x-24=x^2+2x-24\).

\((2x+3)(x-1)=2x^2-2x+3x-3=2x^2+x-3\).

9 Identités remarquables ★★★

\((x+8)^2=x^2+16x+64\).

\((3x-5)^2=9x^2-2 \times 3x \times 5+25=9x^2-30x+25\).

\((2x+7)(2x-7)=(2x)^2-7^2=4x^2-49\).

10 Calculer astucieusement ★★★

\(31^2=(30+1)^2=900+60+1=961\).

\(29^2=(30-1)^2=900-60+1=841\).

\(51 \times 49=(50+1)(50-1)=2500-1=2499\).

\(102^2=(100+2)^2=10000+400+4=10404\).

11 Développer et réduire ★★★

1. \((x+3)(x-2)=x^2+x-6\) et \((x-1)^2=x^2-2x+1\). La somme vaut \(2x^2-x-5\).
2. \((x+4)(x-2)=x^2+2x-8\), donc \(3(2x-1)-(x+4)(x-2)=6x-3-x^2-2x+8=-x^2+4x+5\) (le signe moins change tous les signes de la parenthèse).

12 Facteurs communs ★★★

1. \(14x^2+21x=7x(2x+3)\).
2. Facteur commun \((x-1)\) : \((x-1)\left[(x+4)+3\right]=(x-1)(x+7)\).
3. Facteur commun \((2x+5)\) : \((2x+5)\left[(2x+5)-(x-1)\right]=(2x+5)(2x+5-x+1)=(2x+5)(x+6)\).

13 Factoriser avec une identité ★★★

1. \(x^2-2 \times x \times 8+8^2=(x-8)^2\).
2. \((5x)^2-2^2=(5x-2)(5x+2)\).
3. \((3x)^2+2 \times 3x \times 2+2^2=(3x+2)^2\).

14 Deux équations produit nul ★★★

1. \(3x-6=0\) donne \(x=2\) ; \(2x+5=0\) donne \(x=-\dfrac{5}{2}\). Solutions : \(2\) et \(-2{,}5\).
2. On factorise : \(x(x-9)=0\), donc \(x=0\) ou \(x=9\).

15 Le jardin agrandi ★★★

a) Les nouvelles dimensions sont \(x+2\) et \(x+8\) : aire \(=(x+2)(x+8)=x^2+10x+16\).

b) Ancienne aire : \(x(x+6)=x^2+6x\). Augmentation : \(x^2+10x+16-(x^2+6x)=4x+16\).

c) Pour \(x=10\) : \(4 \times 10+16=56\) m². Vérification : \(12 \times 18-10 \times 16=216-160=56\).

16 Le chemin autour de la pelouse ★★★

a) Le grand carré mesure \(x+6\) de côté : aire du chemin \(=(x+6)^2-x^2=x^2+12x+36-x^2=12x+36\).

b) \(12x+36=12(x+3)\).

c) \(12x+36=120\) donne \(12x=84\), donc \(x=7\). Vérification : \(13^2-7^2=169-49=120\). La pelouse mesure \(7\) m de côté.

17 Une différence de carrés ★★★

C’est une différence de deux carrés \(a^2-b^2\) avec \(a=2x-1\) et \(b=x+4\) : \((a-b)(a+b)=(2x-1-x-4)(2x-1+x+4)=(x-5)(3x+3)\).

\(x-5=0\) donne \(x=5\) ; \(3x+3=0\) donne \(x=-1\). Solutions : \(5\) et \(-1\). Contrôle : pour \(x=5\), \(9^2-9^2=0\) ; pour \(x=-1\), \((-3)^2-3^2=0\).

18 Un carré égal à un nombre ★★★

Le membre de gauche est un carré parfait : \((x+3)^2=25\), donc \((x+3)^2-5^2=0\) et \((x+3-5)(x+3+5)=0\), soit \((x-2)(x+8)=0\).

Donc \(x=2\) ou \(x=-8\). Contrôle : \(4+12+9=25\) et \(64-48+9=25\).

19 Une démonstration ★★★

Différence de deux carrés : \((n+3)^2-(n-3)^2=\left[(n+3)-(n-3)\right]\left[(n+3)+(n-3)\right]=6 \times 2n=12n\).

Comme \(n\) est entier, \(12n\) est un multiple de \(12\). Exemple : \(n=5\) donne \(8^2-2^2=60=12 \times 5\).

20 Un programme de calcul ★★★

a) Le résultat est \((n+3)^2-9=n^2+6n+9-9=n^2+6n=n(n+6)\).

b) \(n(n+6)=0\) donne \(n=0\) ou \(n=-6\).

c) Pour \(n=4\) : \(4 \times 10=40\). Vérification : \(7^2-9=40\).

21 Choisir la bonne forme ★★★

a) \((x-3)^2-4=x^2-6x+9-4=x^2-6x+5\).

b) \((x-3)^2-2^2=(x-3-2)(x-3+2)=(x-5)(x-1)\).

c) La forme factorisée donne \(x=5\) ou \(x=1\).

d) La forme développée donne \(A(0)=5\).

e) \(x^2-6x+5=5\) donne \(x^2-6x=0\), soit \(x(x-6)=0\) : \(x=0\) ou \(x=6\).

22 Factoriser puis résoudre ★★★

Facteur commun \((x+2)\) : \(B(x)=(x+2)\left[(3x-1)-(x+5)\right]=(x+2)(3x-1-x-5)=(x+2)(2x-6)=2(x+2)(x-3)\).

\(B(x)=0\) si \(x+2=0\) ou \(x-3=0\) : les solutions sont \(-2\) et \(3\).