Groupes, anneaux et corps : cours de maths Licence L3

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Cours de maths en Licence L3 : Groupes, anneaux et corps — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Ce chapitre rassemble trois grandes structures de l’algèbre : les groupes, les anneaux et les corps. Le fil conducteur est la notion de quotient : on identifie des éléments « équivalents » pour obtenir un objet plus simple, qui conserve l’essentiel de la structure. Nous l’utiliserons pour compter, classer et construire de nouveaux corps.

Sommaire

1. Groupes quotients

Sous-groupe distingué

Un sous-groupe \(H\) d’un groupe \(G\) est distingué (on note \(H \lhd G\)) si \(gHg^{-1}=H\) pour tout \(g\in G\), c’est-à-dire si \(ghg^{-1}\in H\) pour tous \(g\in G\), \(h\in H\).

Tout sous-groupe d’un groupe abélien est distingué, ainsi que tout sous-groupe d’indice 2. Le noyau d’un morphisme de groupes est toujours distingué.

Groupe quotient

Si \(H \lhd G\), l’ensemble \(G/H\) des classes \(gH\) est un groupe pour la loi \((gH)(g'H)=gg'H\). Son ordre est l’indice \([G:H]\), égal à \(|G|/|H|\) si \(G\) est fini. La projection \(\pi : G \to G/H\) est un morphisme surjectif de noyau \(H\).

Premier théorème d’isomorphisme

Si \(f : G \to G'\) est un morphisme de groupes, alors \(G/\ker f \;\cong\; \operatorname{Im} f\), l’isomorphisme envoyant la classe \(g\ker f\) sur \(f(g)\).

Dans \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\), les sous-groupes sont ceux engendrés par les diviseurs de 12 ; ils sont tous distingués, et leur inclusion se lit sur le treillis ci-dessous.

Exemple 1 : un quotient de \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\)

Prenons \(H=\langle 4\rangle=\{0,4,8\}\). Alors \(|G/H|=12/3=4\). La classe de 1 vérifie \(k\cdot 1\in H\) si et seulement si \(4\mid k\) : elle est d’ordre 4, donc \(G/H\) est cyclique, isomorphe à \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) (c’est le morphisme « réduction modulo 4 », de noyau \(H\)).

Attention

Un sous-groupe n’est pas toujours distingué : dans \(S_3\), le sous-groupe \(\{\mathrm{id},(1\,2)\}\) ne l’est pas, car \((1\,3)(1\,2)(1\,3)=(2\,3)\). En revanche \(A_3\) l’est (indice 2) et \(S_3/A_3\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\).

2. Actions de groupes

Action, orbite, stabilisateur

Une action de \(G\) sur un ensemble \(X\) est un morphisme \(G\to \mathfrak{S}(X)\), noté \((g,x)\mapsto g\cdot x\). L’orbite de \(x\) est \(G\cdot x=\{g\cdot x : g\in G\}\) et son stabilisateur est \(G_x=\{g\in G : g\cdot x=x\}\), sous-groupe de \(G\).

Formule orbite-stabilisateur

L’application \(gG_x \mapsto g\cdot x\) est une bijection de \(G/G_x\) (ensemble des classes) sur \(G\cdot x\). Si \(G\) est fini : \(|G|=|G\cdot x|\times|G_x|\). Les orbites partitionnent \(X\), d’où l’équation aux classes \(|X|=\sum |G\cdot x_i|\) (une somme sur un représentant par orbite).

Exemple 2 : rotations d’un carré

Le groupe \(C_4=\langle r\rangle\) des rotations d’un carré agit sur les 4 sommets. L’orbite du sommet 1 est \(\{1,2,3,4\}\) (taille 4) et le stabilisateur est réduit à l’identité : \(4=4\times 1\). Pour compter les coloriages des sommets avec 2 couleurs à rotation près, la formule de Burnside donne le nombre d’orbites : \(\frac{1}{4}\sum_{g}|\mathrm{Fix}(g)|=\frac{16+2+4+2}{4}=6\).

3. Théorèmes de Sylow

Soit \(G\) fini avec \(|G|=p^a m\), \(p\) premier ne divisant pas \(m\). Un p-sous-groupe de Sylow est un sous-groupe d’ordre \(p^a\).

Théorèmes de Sylow

Il existe au moins un \(p\)-sous-groupe de Sylow.
Deux \(p\)-sous-groupes de Sylow sont conjugués.
Le nombre \(n_p\) de \(p\)-sous-groupes de Sylow vérifie \(n_p\equiv 1 \pmod p\) et \(n_p\mid m\).

Méthode : étudier un groupe d’ordre donné

Décomposer \(|G|=p^a m\) pour chaque premier \(p\).
Lister les diviseurs de \(m\) congrus à 1 modulo \(p\) : ce sont les valeurs possibles de \(n_p\).
Si \(n_p=1\), le sous-groupe de Sylow est unique donc distingué (conjugaison). Sinon, compter les éléments d’ordre \(p\) pour obtenir une contradiction.

Exemple 3 : un groupe d’ordre 15

Ici \(15=3\times 5\). On a \(n_5\mid 3\) et \(n_5\equiv 1 \pmod 5\), donc \(n_5=1\). De même \(n_3\mid 5\) et \(n_3\equiv 1\pmod 3\) donne \(n_3=1\). Les deux sous-groupes sont distingués, d’intersection triviale : \(G\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}\). Tout groupe d’ordre 15 est cyclique.

4. Anneaux, idéaux et quotients

Idéal

Un idéal \(I\) d’un anneau commutatif \(A\) est un sous-groupe additif tel que \(aI\subset I\) pour tout \(a\in A\). L’anneau quotient \(A/I\) est formé des classes \(a+I\), avec \((a+I)(b+I)=ab+I\). Le noyau d’un morphisme d’anneaux est un idéal, et \(A/\ker f\cong \operatorname{Im} f\).

Anneau principal

Un anneau intègre est principal si tous ses idéaux sont de la forme \((a)=aA\). L’anneau \(\mathbb{Z}\), les anneaux \(K[X]\) (où \(K\) est un corps) et \(\mathbb{Z}[i]\) sont principaux (ils sont euclidiens). En revanche \(\mathbb{Z}[X]\) ne l’est pas : l’idéal \((2,X)\) n’est engendré par aucun élément.

Quotients et corps

Dans un anneau principal \(A\) et pour \(a\neq 0\) non inversible : \(A/(a)\) est un corps \(\iff\) \(a\) est irréductible \(\iff\) \((a)\) est un idéal maximal. Ainsi \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) est un corps pour \(p\) premier, et \(K[X]/(P)\) est un corps si et seulement si \(P\) est irréductible.

Exemple 4 : un quotient de \(\mathbb{Z}[i]\)

L’application \(a+bi\mapsto a-2b \bmod 5\) est un morphisme d’anneaux vers \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\) (car \((-2)^2=4\equiv -1\)). Elle est surjective, de noyau l’idéal \((2+i)\), dont les éléments forment le réseau tracé ci-dessus. Donc \(\mathbb{Z}[i]/(2+i)\cong\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\) : c’est un corps à 5 éléments.

5. Extensions de corps

Degré d’une extension

Si \(K\subset L\) sont deux corps, \(L\) est un \(K\)-espace vectoriel ; sa dimension est le degré \([L:K]\). Un élément \(\alpha\in L\) est algébrique sur \(K\) s’il est racine d’un polynôme non nul de \(K[X]\) ; son polynôme minimal est le polynôme unitaire irréductible \(\mu\) de plus petit degré qui l’annule. Alors \(K(\alpha)\cong K[X]/(\mu)\) et \([K(\alpha):K]=\deg \mu\), avec pour base \(1,\alpha,\dots,\alpha^{\deg\mu-1}\).

Multiplicativité des degrés

Pour une tour \(K\subset L\subset M\) d’extensions finies : \([M:K]=[M:L]\,[L:K]\).

Le polynôme minimal de \(\sqrt 2\) sur \(\mathbb{Q}\) est \(X^2-2\), celui de \(\sqrt 3\) sur \(\mathbb{Q}(\sqrt 2)\) est \(X^2-3\) : la tour donne \([\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3):\mathbb{Q}]=2\times 2=4\), comme sur la figure.

Astuce de Zyro

Zyro, l’explorateur extraterrestre, retient ceci : pour inverser un élément de \(\mathbb{Q}(\sqrt d)\), on multiplie par le conjugué. Ainsi \((3+\sqrt2)^{-1}=\dfrac{3-\sqrt2}{7}\) puisque \((3+\sqrt2)(3-\sqrt2)=7\).

6. Corps finis

Un corps fini \(K\) a pour caractéristique un nombre premier \(p\) ; il contient \(\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) et en est un espace vectoriel de dimension \(n\) : \(|K|=p^n\).

Structure des corps finis

Pour tout premier \(p\) et tout \(n\ge1\), il existe un corps à \(p^n\) éléments, unique à isomorphisme près, noté \(\mathbb{F}_{p^n}\).
Le groupe multiplicatif \(\mathbb{F}_q^{\times}\) est cyclique, d’ordre \(q-1\).
\(\mathbb{F}_{p^m}\) est un sous-corps de \(\mathbb{F}_{p^n}\) si et seulement si \(m\mid n\).
L’application de Frobenius \(x\mapsto x^p\) est un morphisme de corps.

Exemple 5 : le corps à 4 éléments

Le polynôme \(X^2+X+1\) n’a aucune racine dans \(\mathbb{F}_2\) (il vaut 1 en 0 et en 1) et il est de degré 2 : il est irréductible. Donc \(\mathbb{F}_4=\mathbb{F}_2[X]/(X^2+X+1)=\{0,1,\alpha,\alpha+1\}\) avec \(\alpha^2=\alpha+1\), et la table de multiplication est la suivante.

×	1	α	α+1
0	0	0	0
1	1	α	α+1
α	α	α+1	1
α+1	α+1	1	α

On lit que \(\alpha\) et \(\alpha+1\) sont inverses l’un de l’autre, et que \(\alpha^3=1\) : le groupe \(\mathbb{F}_4^\times\) est cyclique d’ordre 3.

7. Irréductibilité des polynômes

Critères d’irréductibilité

Degré 2 ou 3 : \(P\in K[X]\) est irréductible si et seulement s’il n’a pas de racine dans \(K\).
Réduction : si \(P\in\mathbb{Z}[X]\) est unitaire et que sa réduction modulo un premier \(p\) est irréductible sur \(\mathbb{F}_p\), alors \(P\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}\).
Critère d’Eisenstein : si \(P=a_nX^n+\dots+a_0\in\mathbb{Z}[X]\) et si un premier \(p\) divise \(a_0,\dots,a_{n-1}\), ne divise pas \(a_n\), et si \(p^2\nmid a_0\), alors \(P\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}\).

Exemple 6 : Eisenstein après translation

Pour \(P=X^4+1\), on développe \(P(X+1)=X^4+4X^3+6X^2+4X+2\) : le critère d’Eisenstein avec \(p=2\) s’applique, donc \(P(X+1)\) est irréductible, et \(P\) aussi (une factorisation de \(P\) se transporterait par translation). Remarque : \(X^4+1\) est pourtant réductible modulo tout nombre premier, ce qui montre qu’une réduction ne suffit pas toujours.

Attention

Le test « pas de racine » ne vaut que pour les degrés 2 et 3 : \((X^2+1)^2\) n’a pas de racine réelle et pourtant il est réductible.

À retenir

\(H\lhd G\) permet de former \(G/H\) ; \(G/\ker f\cong\operatorname{Im} f\).
Pour une action : \(|G|=|G\cdot x|\,|G_x|\) ; les orbites partitionnent \(X\).
Sylow : existence, conjugaison, \(n_p\equiv1\pmod p\) et \(n_p\mid m\) ; \(n_p=1\) équivaut à un Sylow distingué.
Dans un anneau principal, \(A/(a)\) est un corps si et seulement si \(a\) est irréductible.
\([K(\alpha):K]=\deg\mu_\alpha\) et les degrés se multiplient dans une tour.
Un corps fini a \(p^n\) éléments et \(\mathbb{F}_q^\times\) est cyclique d’ordre \(q-1\).
Eisenstein, réduction modulo \(p\) et absence de racine (degrés 2 et 3) servent à prouver l’irréductibilité.