Quand tu traces la courbe d’une température au cours d’une journée, tu ne lèves jamais le crayon : la température ne saute pas d’un coup de 5 °C à 15 °C, elle passe par toutes les valeurs intermédiaires. Cette idée très simple, la continuité, a une conséquence puissante : elle garantit que certaines équations ont des solutions, même quand on ne sait pas les calculer. Dans ce chapitre, tu vas préciser l’idée, apprendre à la justifier, puis t’en servir pour prouver l’existence d’une solution et l’encadrer aussi finement que tu veux.
1. L’idée : une courbe tracée d’un seul trait
Une fonction est continue sur un intervalle quand sa courbe peut se dessiner sans lever le crayon. Les fonctions dont la courbe « casse » (un saut, un trou, une valeur interdite) ne sont pas continues à cet endroit.
Sur la figure ci-dessus, on peut approcher le point \(M\) de la courbe aussi près qu’on veut des deux côtés, et on arrive toujours exactement en \(M\) : c’est ce que traduit la définition qui suit.
2. Continuité en un point et sur un intervalle
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a\) un réel de \(I\). On dit que \(f\) est continue en \(a\) si \[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a). \]
On dit que \(f\) est continue sur \(I\) si elle est continue en tout point de \(I\).
Concrètement, trois choses doivent être vraies en même temps : \(f(a)\) existe, la limite en \(a\) existe, et ces deux nombres sont égaux. Pour une fonction définie « par morceaux », on calcule séparément la limite à gauche \(\lim_{x \to a^-} f(x)\) et la limite à droite \(\lim_{x \to a^+} f(x)\) : la fonction est continue en \(a\) exactement quand ces deux limites sont égales à \(f(a)\).
La continuité se teste en un point de l’ensemble de définition. La fonction inverse \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) n’est pas définie en \(0\) : on dit qu’elle est continue sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\), mais on ne parle pas de continuité sur \(\mathbb{R}\) tout entier.
3. Les fonctions usuelles et les opérations
Heureusement, tu n’as pas à revérifier la définition à chaque fois : les fonctions de référence sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition, et les opérations conservent la continuité.
| Fonction | Continue sur |
|---|---|
| polynômes, par exemple \(x^3 - 5x + 1\) | \(\mathbb{R}\) |
| fraction rationnelle \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) | chaque intervalle où \(Q(x) \neq 0\) |
| \(\sqrt{x}\) | \([0\,;+\infty[\) |
| \(\ln x\) | \(]0\,;+\infty[\) |
| \(e^x\), \(\cos x\), \(\sin x\), \(|x|\) | \(\mathbb{R}\) |
- La somme, le produit, le quotient (dénominateur non nul) et la composée de fonctions continues sont continus.
- Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.
La réciproque est fausse : la fonction valeur absolue est continue en \(0\), mais sa courbe a un « coin » et elle n’est pas dérivable en \(0\). Retiens : dérivable ⇒ continue, mais pas l’inverse.
Étudie la continuité de \(h(x) = \dfrac{\ln(x)}{x^2 + 1}\) sur \(]0\,;+\infty[\).
La fonction \(\ln\) est continue sur \(]0\,;+\infty[\). Le dénominateur \(x^2 + 1\) est un polynôme continu qui ne s’annule jamais (il vaut au moins \(1\)). Un quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas est continu : \(h\) est continue sur \(]0\,;+\infty[\).
4. Quand une fonction n’est pas continue
Voici une fonction définie par morceaux : \(f(x) = x + 1\) pour \(x < 2\) et \(f(x) = x - 1\) pour \(x \geq 2\). À gauche de \(2\), la courbe monte vers \(3\) (point vide) ; en \(2\), la fonction vaut \(f(2) = 1\). Les deux morceaux ne se rejoignent pas : la limite à gauche est \(3\), \(f(2) = 1\), il y a un saut.
- Calcule \(f(a)\) au point de raccord.
- Calcule la limite à gauche et la limite à droite en \(a\).
- Écris l’égalité de ces trois valeurs : tu obtiens une équation d’inconnue le paramètre.
- Résous, puis vérifie.
Soit \(f(x) = x^2 + 1\) si \(x \leq 2\) et \(f(x) = ax - 1\) si \(x > 2\). Pour quelle valeur de \(a\) la fonction \(f\) est-elle continue en \(2\) ?
\(f(2) = 2^2 + 1 = 5\). Limite à gauche : \(\lim_{x \to 2^-} (x^2 + 1) = 5\). Limite à droite : \(\lim_{x \to 2^+} (ax - 1) = 2a - 1\).
La continuité en \(2\) équivaut à \(2a - 1 = 5\), donc \(a = 3\).
5. Le théorème des valeurs intermédiaires
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a\,;b]\). Pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l’équation \(f(x) = k\) admet au moins une solution \(c\) dans \([a\,;b]\).
La figure explique le théorème : pour aller de la hauteur \(f(a)\) à la hauteur \(f(b)\) sans lever le crayon, la courbe doit traverser toute droite horizontale \(y = k\) située entre les deux. Le théorème dit qu’une solution existe, pas qu’elle est unique, et il ne la calcule pas.
Sans la continuité, le théorème devient faux. La fonction qui vaut \(-1\) sur \([-1\,;0[\) et \(1\) sur \([0\,;1]\) passe de \(-1\) à \(1\), mais ne prend jamais la valeur \(0\).
6. Le corollaire de la bijection
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a\,;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l’équation \(f(x) = k\) admet une unique solution dans \([a\,;b]\).
Pourquoi unique ? Parce qu’une fonction strictement monotone ne prend jamais deux fois la même valeur. Le théorème s’étend aux intervalles ouverts ou infinis : on remplace alors \(f(a)\) et \(f(b)\) par les limites de \(f\) aux bornes. Par exemple, si \(f\) est continue et strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\) avec \(\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\), alors tout réel \(k\) a un unique antécédent.
Sur ma planète, on dit « TVI pour l’existence, monotonie pour l’unicité » : deux hypothèses, deux conclusions, et aucun des deux ne marche sans l’autre !
7. Résoudre f(x) = k et encadrer la solution
- Précise l’intervalle et justifie que \(f\) est continue dessus.
- Étudie le sens de variation (signe de \(f'\)) pour justifier que \(f\) est strictement monotone.
- Calcule \(f(a)\) et \(f(b)\) et vérifie que \(k\) est entre les deux.
- Cite le corollaire et conclus à l’existence et à l’unicité.
Montre que \(x^3 + x - 3 = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([1\,;2]\), puis encadre-la à \(0{,}01\) près.
Soit \(f(x) = x^3 + x - 3\), polynôme donc continu sur \(\mathbb{R}\). On a \(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\) : \(f\) est strictement croissante. Comme \(f(1) = -1 < 0\) et \(f(2) = 7 > 0\), le corollaire donne une unique solution \(\alpha\) dans \([1\,;2]\).
Encadrement par balayage : \(f(1{,}2) = -0{,}072 < 0\) et \(f(1{,}3) = 0{,}497 > 0\), donc \(\alpha \in [1{,}2\,;1{,}3]\). Puis \(f(1{,}21) \approx -0{,}0184 < 0\) et \(f(1{,}22) \approx 0{,}0358 > 0\), donc \(1{,}21 < \alpha < 1{,}22\).
Deux techniques d’encadrement : le balayage (on calcule \(f\) sur une grille de pas \(0{,}1\), puis \(0{,}01\), etc.) et la dichotomie : on coupe l’intervalle en deux, on garde la moitié où \(f\) change de signe, et on recommence. Après \(n\) étapes, l’amplitude est divisée par \(2^n\).
8. Suites et continuité
La continuité permet de trouver la limite d’une suite définie par récurrence.
Si \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\) et si \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(\ell\) vérifie l’égalité \(f(\ell) = \ell\).
En effet, \(u_{n+1} \to \ell\) d’un côté, et \(f(u_n) \to f(\ell)\) de l’autre par continuité : par unicité de la limite, \(\ell = f(\ell)\). Attention : cette égalité donne les limites possibles, il faut d’abord savoir que la suite converge (par exemple parce qu’elle est monotone et bornée).
On admet que la suite définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}\) converge vers \(\ell\). Détermine \(\ell\).
La fonction \(f(x) = \sqrt{2x + 3}\) est continue sur \(\left[-\tfrac{3}{2}\,;+\infty\right[\) et tous les termes sont positifs, donc \(\ell \geq 0\). On a \(\ell = \sqrt{2\ell + 3}\), soit \(\ell^2 = 2\ell + 3\), c’est-à-dire \(\ell^2 - 2\ell - 3 = 0\), qui se factorise en \((\ell - 3)(\ell + 1) = 0\). Comme \(\ell \geq 0\), on obtient \(\ell = 3\).
À retenir
- \(f\) est continue en \(a\) si \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\) ; continue sur un intervalle si elle l’est en chaque point.
- Les fonctions usuelles sont continues sur leurs intervalles de définition ; somme, produit, quotient et composée conservent la continuité.
- Dérivable ⇒ continue ; la réciproque est fausse (la valeur absolue en \(0\)).
- TVI : \(f\) continue sur \([a\,;b]\), \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\) ⇒ au moins une solution de \(f(x) = k\).
- Corollaire : avec en plus une stricte monotonie, la solution est unique.
- Pour encadrer une solution : balayage ou dichotomie, en regardant le changement de signe.
- Si \(u_{n+1} = f(u_n)\) converge vers \(\ell\) et \(f\) est continue, alors \(f(\ell) = \ell\).
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