Continuité et théorème des valeurs intermédiaires : exercices de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Sans lever le crayon ★★★

Dans chaque cas, dis si la fonction est continue sur son ensemble de définition en décrivant sa courbe.

1. Une parabole.
2. La fonction \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\).
3. Le prix d’un parking qui coûte \(2\) € par heure entamée (durée en heures \(t\), prix \(p(t)\)).

2 Continuité en 1 ★★★

Soit \(f\) définie par \(f(x) = 3x + 1\) si \(x \leq 1\) et \(f(x) = x + 3\) si \(x > 1\). La fonction \(f\) est-elle continue en \(1\) ?

3 Justifier une continuité ★★★

Justifie que chacune de ces fonctions est continue sur l’intervalle indiqué.

1. \(g(x) = x^2 - 5x + 2\) sur \(\mathbb{R}\).
2. \(h(x) = \dfrac{1}{x - 4}\) sur \([5\,;9]\).
3. \(k(x) = \sqrt{x + 2}\) sur \([-2\,;+\infty[\).

4 Le TVI sur des données ★★★

Une fonction \(f\) est continue sur \([0\,;5]\), avec \(f(0) = -3\) et \(f(5) = 8\). Peut-on affirmer que l’équation a une solution dans \([0\,;5]\) ?

1. \(f(x) = 0\) ;
2. \(f(x) = 5\) ;
3. \(f(x) = 10\).

5 Racine de 10 ★★★

Soit \(f(x) = x^2 - 10\) sur \([3\,;4]\). Montre que \(f(x) = 0\) a une unique solution dans cet intervalle. Quelle est-elle ?

6 Dérivable ou continue ? ★★★

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifie.

1. Une fonction dérivable en \(a\) est continue en \(a\).
2. Une fonction continue en \(a\) est dérivable en \(a\).
3. La fonction \(x \mapsto |x|\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

7 Un encadrement à lire ★★★

Soit \(h(x) = x^3 + 4x - 6\), dont on sait qu’elle est strictement croissante et continue sur \(\mathbb{R}\). On donne \(h(1) = -1\), \(h(1{,}1) \approx -0{,}269\) et \(h(1{,}2) \approx 0{,}528\). Montre que \(h(x) = 0\) a une unique solution et encadre-la par deux décimaux d’écart \(0{,}1\).

8 Trouver le paramètre ★★★

Soit \(f(x) = 2x^2 + ax\) si \(x \leq 2\) et \(f(x) = 5x - 4\) si \(x > 2\), où \(a\) est un réel. Détermine \(a\) pour que \(f\) soit continue en \(2\).

9 Prolongement par continuité ★★★

Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 - x - 6}{x - 3}\) pour \(x \neq 3\) et \(f(3) = m\). Pour quelle valeur de \(m\) la fonction \(f\) est-elle continue en \(3\) ?

10 Encadrement à 0,01 ★★★

Soit \(f(x) = x^3 + 2x - 7\) sur \([1\,;2]\).

1. Montre que \(f(x) = 0\) a une unique solution \(\alpha\) dans \([1\,;2]\).
2. À la calculatrice, encadre \(\alpha\) à \(0{,}01\) près.

11 Équation avec l’exponentielle ★★★

Soit \(g(x) = e^x + x - 3\) sur \([0\,;1]\).

1. Montre que \(g(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([0\,;1]\).
2. Donne un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(0{,}01\).

12 Combien de solutions ? ★★★

Soit \(g(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5\) sur \(\mathbb{R}\) (courbe ci-dessous).

1. Calcule \(g'(x)\) et dresse le tableau de variations.
2. Montre que \(g(x) = 0\) admet exactement trois solutions.
3. Encadre chacune par deux entiers consécutifs.

13 Le four à pizza ★★★

La température \(T\) (en °C) d’un four pendant sa mise en chauffe est une fonction continue du temps \(t\) (en minutes) sur \([0\,;40]\), avec \(T(0) = 20\) et \(T(40) = 220\).

1. Prouve que le four atteint \(180\) °C au moins une fois.
2. Pourquoi ne peut-on pas dire que cet instant est unique ?
3. Que faut-il ajouter pour affirmer l’unicité ?

14 Quand le théorème est faux ★★★

Soit \(f\) définie sur \([-1\,;1]\) par \(f(x) = -1\) si \(x < 0\) et \(f(x) = 1\) si \(x \geq 0\).

1. Calcule \(f(-1)\) et \(f(1)\).
2. L’équation \(f(x) = 0\) a-t-elle une solution ? Pourquoi cela ne contredit-il pas le TVI ?

15 Une suite et sa limite ★★★

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}\) (voir l’escalier du cours).

1. Montre par récurrence que, pour tout \(n\), \(0 \leq u_n \leq 3\).
2. Montre que \((u_n)\) est croissante.
3. Justifie que \((u_n)\) converge puis détermine sa limite.

16 Une suite homographique ★★★

Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \dfrac{1}{1 + u_n}\). On admet que \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\).

1. Calcule \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\), \(u_4\).
2. Détermine la valeur exacte de \(\ell\).

17 Équation avec logarithme ★★★

Soit \(f(x) = x + \ln x\) sur \(]0\,;+\infty[\).

1. Étudie le sens de variation de \(f\) et ses limites aux bornes.
2. Montre que l’équation \(f(x) = 2\) a une unique solution \(\alpha\).
3. Encadre \(\alpha\) à \(0{,}01\) près.

18 Selon la valeur de k ★★★

Soit \(f(x) = x^3 - 3x\) sur \([-2\,;2]\).

1. Dresse le tableau de variations de \(f\).
2. Discute, selon \(k\), le nombre de solutions de \(f(x) = k\) dans \([-2\,;2]\).
3. Combien de solutions pour \(k = 1\), \(k = 2\) et \(k = 3\) ?

19 La dichotomie ★★★

On cherche une valeur approchée de \(\sqrt{7}\), solution de \(f(x) = x^2 - 7 = 0\) dans \([2\,;3]\). Principe : à chaque étape, on calcule le milieu \(m\) de l’intervalle, puis on garde \([a\,;m]\) si \(f(a)\) et \(f(m)\) sont de signes contraires, sinon \([m\,;b]\).

1. Effectue trois étapes à la main.
2. Quelle est l’amplitude de l’intervalle après \(n\) étapes ?
3. Combien d’étapes faut-il pour obtenir une amplitude inférieure à \(10^{-3}\) ?

20 Un prolongement subtil ★★★

Soit \(f(x) = x \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\) pour \(x \neq 0\) et \(f(0) = c\). Détermine \(c\) pour que \(f\) soit continue en \(0\). On pourra encadrer \(|f(x)|\).

21 Un point fixe ★★★

Soit \(f\) une fonction continue sur \([0\,;1]\) à valeurs dans \([0\,;1]\).

1. On pose \(g(x) = f(x) - x\). Calcule les signes de \(g(0)\) et \(g(1)\).
2. Déduis-en qu’il existe \(c\) dans \([0\,;1]\) tel que \(f(c) = c\).
3. Application : montre que l’équation \(\cos x = x\) a une unique solution dans \([0\,;1]\).