Continuité et théorème des valeurs intermédiaires : corrigé du contrôle de maths Terminale

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Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.

Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice autorisée seulement quand l’énoncé le précise.

Sommaire

Numérateur et dénominateur sont des polynômes continus, et \(x^2 + 4 \geq 4 > 0\) ne s’annule jamais : \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) (1 pt).
Pour \(x > 2\), \(3x - 6 > 0\) ; \(x \mapsto 3x - 6\) est continue et \(\ln\) est continue sur \(]0\,;+\infty[\) : par composition, \(g\) est continue sur \(]2\,;+\infty[\) (1 pt).
\(h\) est une fraction rationnelle, définie pour \(x \neq 5\) : continue sur \(]-\infty\,;5[\) et sur \(]5\,;+\infty[\) (1 pt).

\(f(1) = 1 + 3 - 1 = 3\) et la limite à gauche est \(3\) (1 pt). Limite à droite : \(m + 2\). Il faut \(m + 2 = 3\), donc \(m = 1\) (1 pt).
Pour \(x \neq 3\), \(h(x) = \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3\) (1 pt), donc \(\lim_{x \to 3} h(x) = 6\) et il faut \(k = 6\) (1 pt).

\(f'(x) = 3x^2 + 3 > 0\) pour tout réel \(x\) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) (1 pt).
\(f\) est continue (polynôme) et strictement croissante sur \([1\,;2]\) (1 pt). \(f(1) = -1 < 0\) et \(f(2) = 9 > 0\), donc \(0 \in [f(1)\,;f(2)]\) (0,5 pt) : d’après le corollaire de la bijection, il existe une unique solution \(\alpha\) dans \([1\,;2]\) (0,5 pt).
\(f(1{,}1) \approx -0{,}369 < 0\) et \(f(1{,}2) \approx 0{,}328 > 0\) (0,5 pt). Puis \(f(1{,}15) \approx -0{,}0291 < 0\) et \(f(1{,}16) \approx 0{,}0409 > 0\) (1 pt). Donc \(1{,}15 < \alpha < 1{,}16\) (0,5 pt).

\(T\) est continue sur \([0\,;12]\) et \(10 \in [4\,;17]\) : d’après le TVI, il existe \(t_1 \in [0\,;12]\) tel que \(T(t_1) = 10\) (1,5 pt).
Sur \([12\,;24]\), \(T\) est continue et \(10\) est compris entre \(T(24) = 6\) et \(T(12) = 17\) : il existe \(t_2 \in [12\,;24]\) tel que \(T(t_2) = 10\) (1 pt). Comme \(T(12) = 17 \neq 10\), \(t_1 < 12 < t_2\) : les deux instants sont distincts (0,5 pt).

\(u_1 = \sqrt{7} \approx 2{,}646\) (0,5 pt) et \(u_2 = \sqrt{u_1 + 6} = \sqrt{8{,}646\ldots} \approx 2{,}940\) (0,5 pt).
La fonction \(f(x) = \sqrt{x + 6}\) est continue sur \([-6\,;+\infty[\) (0,5 pt), donc \(\ell = \sqrt{\ell + 6}\) (0,5 pt). Les termes sont positifs, donc \(\ell \geq 0\), et \(\ell^2 = \ell + 6\) donne \((\ell - 3)(\ell + 2) = 0\) (0,5 pt), d’où \(\ell = 3\) (0,5 pt).

Faux : \(f(x) = x + 1\) est continue sur \([0\,;1]\), mais \(f(0) = 1\) et \(f(1) = 2\) sont tous deux positifs, et \(f(x) = 0\) n’a aucune solution dans \([0\,;1]\) (1 pt).
Vrai : toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue (1 pt).

Entraîne-toi : défi express de Terminale