Continuité et théorème des valeurs intermédiaires : contrôle de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Continuité et ensembles de définition / 3 pts

Justifie la continuité des fonctions suivantes sur les intervalles indiqués.

1. \(f(x) = \dfrac{2x - 1}{x^2 + 4}\) sur \(\mathbb{R}\).
2. \(g(x) = \ln(3x - 6)\) sur \(]2\,;+\infty[\).
3. \(h(x) = \dfrac{1}{x - 5}\) : sur quels intervalles est-elle continue ?

2 Paramètre et prolongement / 4 pts

1. Soit \(f(x) = x^2 + 3x - 1\) si \(x \leq 1\) et \(f(x) = mx + 2\) si \(x > 1\). Détermine \(m\) pour que \(f\) soit continue en \(1\).
2. Soit \(h(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}\) pour \(x \neq 3\) et \(h(3) = k\). Détermine \(k\) pour que \(h\) soit continue en \(3\).

3 Une équation de degré 3 / 5 pts

Soit \(f(x) = x^3 + 3x - 5\) sur \(\mathbb{R}\). (Calculatrice autorisée.)

1. Étudie le sens de variation de \(f\).
2. Montre que \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([1\,;2]\).
3. Donne un encadrement de \(\alpha\) à \(0{,}01\) près.

4 Le capteur de température / 3 pts

Un capteur enregistre la température \(T\) (en °C) d’une salle sur une journée. La fonction \(T\) est continue sur \([0\,;24]\) (temps en heures) avec \(T(0) = 4\), \(T(12) = 17\) et \(T(24) = 6\).

1. Montre qu’il existe un instant de \([0\,;12]\) où la température vaut \(10\) °C.
2. Montre qu’il existe au moins deux instants distincts de \([0\,;24]\) où la température vaut \(10\) °C.

5 Une suite récurrente / 3 pts

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}\). On admet qu’elle converge vers un réel \(\ell\). (Calculatrice autorisée.)

1. Calcule \(u_1\) et \(u_2\) (valeurs arrondies au millième).
2. Détermine la valeur de \(\ell\).

6 Vrai ou faux / 2 pts

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, avec une justification courte.

1. « Si \(f\) est continue sur \([0\,;1]\), alors \(f(x) = 0\) a une solution dans \([0\,;1]\). »
2. « Une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) est continue sur \(\mathbb{R}\). »