Séries numériques : exercices corrigés de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Somme d’une série géométrique ★★★

1. \(S_3=1+\frac23+\frac49+\frac8{27}=\frac{27+18+12+8}{27}=\frac{65}{27}\).
2. Pour \(q=\frac23\ne1\), \(S_N=\dfrac{1-q^{N+1}}{1-q}=3\left(1-\left(\frac23\right)^{N+1}\right)\). Comme \(|q|<1\), \(q^{N+1}\to0\) donc \(S_N\to3\) : la série converge et sa somme vaut \(3\).

2 Divergence grossière ou pas ? ★★★

1. \(\frac{2n+1}{3n+5}\to\frac23\ne0\) : la série diverge grossièrement.
2. \((-1)^n\) n’a pas de limite, donc ne tend pas vers \(0\) : divergence grossière.
3. \(\frac1{n+3}\to0\) : on ne peut rien conclure par ce critère. Comme \(\frac1{n+3}\sim\frac1n\), la série diverge par équivalence avec la série harmonique.

3 Séries de Riemann ★★★

On compare l’exposant \(\alpha\) à \(1\). \(\alpha=3>1\) : converge. \(\alpha=\frac12\le1\) : diverge. \(\alpha=\frac54>1\) : converge. \(\alpha=0{,}99\le1\) : diverge.

4 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux : \(u_n=\frac1n\to0\) mais la série harmonique diverge.
2. Vrai : \(u_n=S_n-S_{n-1}\to0\).
3. Vrai : la convergence absolue entraîne la convergence.
4. Faux : avec \(u_n=1\) et \(v_n=-1\), les deux séries divergent mais \(\sum(u_n+v_n)=\sum0\) converge.

5 Un équivalent simple ★★★

\(\frac{3n^2+1}{n^4+n}\sim\frac{3n^2}{n^4}=\frac3{n^2}\), terme positif d’une série de Riemann convergente (\(\alpha=2\)) : la première série converge.

\(\frac{5n+2}{n^2-3}\sim\frac{5n}{n^2}=\frac5n\), termes positifs, série harmonique divergente : la seconde série diverge.

6 Rapport de d’Alembert ★★★

Pour \(u_n=\frac{5^n}{n!}>0\), \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac5{n+1}\to0<1\) : d’après la règle de d’Alembert, la série converge.

Ce rapport est supérieur à \(1\) tant que \(n+1<5\), égal à \(1\) pour \(n=4\) et inférieur à \(1\) ensuite : le maximum est atteint pour \(n=4\) et \(n=5\), avec \(u_4=u_5=\frac{625}{24}\approx26{,}04\).

7 La balle qui rebondit ★★★

La hauteur après le \(k\)-ième rebond est \(h_k=2\times0{,}6^k\). Chaque rebond ajoute une montée et une descente, soit \(2h_k\). La distance totale vaut \(D=2+2\sum_{k\ge1}2\times0{,}6^k=2+4\times\dfrac{0{,}6}{1-0{,}6}=2+4\times1{,}5=8\).

La balle parcourt \(8\) m au total.

8 Un télescopage ★★★

On a \(\frac1{n(n+2)}=\frac12\left(\frac1n-\frac1{n+2}\right)\). Donc \(S_N=\frac12\sum_{n=1}^N\left(\frac1n-\frac1{n+2}\right)=\frac12\left(1+\frac12-\frac1{N+1}-\frac1{N+2}\right)\) (les autres termes se simplifient). Quand \(N\to\infty\), \(S_N\to\frac12\times\frac32=\frac34\).

La série converge et sa somme vaut \(\frac34\).

9 Comparaison ★★★

1. \(0<\frac1{n^2+n+3}\le\frac1{n^2}\), série de Riemann convergente : la série converge.
2. Pour \(n\ge3\), \(\ln n\ge1\), donc \(\frac{\ln n}n\ge\frac1n\), terme d’une série divergente : la série diverge.
3. \(0<\frac1{2^n+n}\le\frac1{2^n}\), série géométrique convergente : la série converge.

10 Équivalents classiques ★★★

Quand \(x\to0\), \(\ln(1+x)\sim x\) : \(\ln\left(1+\frac1{n^2}\right)\sim\frac1{n^2}\). Les termes sont positifs et \(\sum\frac1{n^2}\) converge : la première série converge.

Quand \(x\to0\), \(\sin x\sim x\) : \(\sin\left(\frac1{\sqrt n}\right)\sim\frac1{\sqrt n}\), positif pour \(n\ge1\) (l’argument est dans \(]0,1]\)). Comme \(\sum\frac1{\sqrt n}\) diverge, la seconde série diverge.

11 Règle de Cauchy ★★★

Pour la première, \(\sqrt[n]{u_n}=\frac n{2n+1}\to\frac12<1\) : elle converge.

Pour la seconde, \(\sqrt[n]{u_n}=\left(1+\frac1n\right)^n\to e>1\) : elle diverge (d’ailleurs \(u_n\to+\infty\)).

12 Convergence absolue ★★★

1. \(\left|\frac{(-1)^n}{n^2}\right|=\frac1{n^2}\) : absolument convergente, donc convergente.
2. \(\left|\frac{\cos 3n}{n^3}\right|\le\frac1{n^3}\) : absolument convergente, donc convergente.
3. \(\frac1n\) décroît vers \(0\) : la série converge d’après le critère des séries alternées. Mais \(\sum\frac1n\) diverge : la convergence n’est pas absolue (semi-convergence).

13 Précision d’une somme alternée ★★★

Les \(a_n=\frac1{2n+1}\) décroissent vers \(0\) : le critère des séries alternées s’applique et \(|R_N|\le a_{N+1}=\frac1{2N+3}\).

On veut \(\frac1{2N+3}<10^{-3}\), soit \(2N+3>1000\), c’est-à-dire \(N\ge499\) (pour \(N=498\), \(2N+3=999\) ne convient pas). Il suffit donc de prendre \(N=499\).

14 Produit de Cauchy de deux géométriques ★★★

Ici \(c_n=\sum_{k=0}^nx^kx^{n-k}=(n+1)x^n\). Les séries \(\sum x^n\) sont absolument convergentes (\(|x|<1\)) : le théorème donne \(\sum_{n\ge0}(n+1)x^n=\left(\frac1{1-x}\right)^2\).

Avec \(x=\frac12\) : \(\sum_{n\ge0}\frac{n+1}{2^n}=2^2=4\).

15 Quand d’Alembert ne répond pas ★★★

Pour \(u_n=\frac1n\), \(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac n{n+1}\to1\). Pour \(u_n=\frac1{n^2}\), \(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\left(\frac n{n+1}\right)^2\to1\).

Les deux rapports tendent vers \(1\), or la première série diverge et la seconde converge : lorsque la limite vaut \(1\), la règle de d’Alembert ne permet pas de conclure.

16 Série à paramètre ★★★

\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=a\dfrac{(n+1)\,n^n}{(n+1)^{n+1}}=\dfrac a{(1+1/n)^n}\to\dfrac ae\).

Si \(ae\), elle est \(>1\) : divergence.

Si \(a=e\), \(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac e{(1+1/n)^n}>1\) pour tout \(n\) : la suite \((u_n)\) est strictement croissante et positive, donc ne tend pas vers \(0\) : divergence grossière.

17 Comparaison série-intégrale ★★★

Soit \(f(x)=\frac1{x\ln x}\), positive et décroissante sur \([2,+\infty[\). Donc \(\sum_{n=2}^Nf(n)\ge\int_2^{N+1}f=\ln\ln(N+1)-\ln\ln2\to+\infty\) : la première série diverge.

Soit \(g(x)=\frac1{x(\ln x)^2}\), positive et décroissante, de primitive \(-\frac1{\ln x}\). Alors \(\sum_{n=2}^Ng(n)\le g(2)+\int_2^Ng=g(2)+\frac1{\ln2}-\frac1{\ln N}\le g(2)+\frac1{\ln2}\). Les sommes partielles sont majorées, donc la seconde série converge.

18 Un contre-exemple alterné ★★★

On réduit : \(u_n-\frac{(-1)^n}{\sqrt n}=(-1)^n\frac{\sqrt n-\sqrt n-(-1)^n}{\sqrt n(\sqrt n+(-1)^n)}=-\frac{((-1)^n)^2}{\sqrt n(\sqrt n+(-1)^n)}=-\frac1{\sqrt n(\sqrt n+(-1)^n)}\).

Notons \(w_n=\frac1{\sqrt n(\sqrt n+(-1)^n)}>0\) ; \(w_n\sim\frac1n\), donc \(\sum w_n\) diverge. Comme \(\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\) converge (séries alternées) et que \(u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}-w_n\), si \(\sum u_n\) convergeait alors \(\sum w_n\) convergerait : contradiction. Donc \(\sum u_n\) diverge.

Cela ne contredit rien : les termes n’ont pas un signe constant, et le théorème d’équivalence ne s’applique qu’aux séries de signe constant.

19 Un produit de Cauchy divergent ★★★

\(c_n=\sum_{k=0}^na_ka_{n-k}=(-1)^n\sum_{k=0}^n\frac1{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}\) (car \((-1)^k(-1)^{n-k}=(-1)^n\)).

Par l’inégalité arithmético-géométrique, \((k+1)(n-k+1)\le\left(\frac{n+2}2\right)^2\), donc chaque terme de la somme est \(\ge\frac2{n+2}\). La somme comporte \(n+1\) termes : \(|c_n|\ge\frac{2(n+1)}{n+2}\ge1\) car \(2n+2\ge n+2\).

Ainsi \(c_n\) ne tend pas vers \(0\) : le produit de Cauchy diverge grossièrement, bien que \(\sum a_n\) converge. L’absolue convergence est indispensable.

20 Reste de la série de Riemann d’exposant 2 ★★★

Pour \(n\ge2\), \(\frac1{n(n+1)}\le\frac1{n^2}\le\frac1{n(n-1)}\). On somme pour \(n>N\) avec \(\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}\) et \(\frac1{n(n-1)}=\frac1{n-1}-\frac1n\) : les sommes télescopent et valent \(\frac1{N+1}\) et \(\frac1N\). Donc \(\frac1{N+1}\le R_N\le\frac1N\).

Pour garantir \(R_N\le10^{-2}\), il suffit de \(N=100\). La valeur \(S_{100}\approx1{,}6350\) approche alors la somme à moins de \(0{,}01\) (la somme vaut \(\frac{\pi^2}6\approx1{,}6449\)).