Probabilités sur un univers dénombrable : cours de maths Licence L2

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Cours de maths en Licence L2 : Probabilités sur un univers dénombrable — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Lancer un dé jusqu’à obtenir un six, compter les appels reçus par un standard en une heure, suivre une marche aléatoire : dans toutes ces situations l’ensemble des issues est infini mais on peut les numéroter. C’est le cadre des probabilités discrètes, où les séries remplacent les sommes finies et où l’on contrôle tout par des théorèmes de sommation.

Sommaire

1. Espace probabilisé discret

Un univers \( \Omega \) est dit dénombrable s’il est fini ou en bijection avec \( \mathbb{N} \). Dans ce chapitre la tribu des événements est l’ensemble \( \mathcal{P}(\Omega) \) de toutes les parties de \( \Omega \).

Probabilité Une probabilité sur \( \Omega \) est une application \( \mathbb{P} : \mathcal{P}(\Omega) \to [0,1] \) telle que \( \mathbb{P}(\Omega)=1 \) et, pour toute suite \( (A_n) \) d’événements deux à deux incompatibles, \( \mathbb{P}\Big(\bigcup_{n} A_n\Big)=\sum_{n} \mathbb{P}(A_n) \) (σ-additivité).

Caractérisation Si \( p_\omega=\mathbb{P}(\{\omega\}) \), alors \( \mathbb{P}(A)=\sum_{\omega\in A} p_\omega \) et \( \sum_{\omega\in\Omega}p_\omega=1 \). Réciproquement, toute famille \( (p_\omega) \) de réels positifs de somme 1 définit une unique probabilité.

Propriétés \( \mathbb{P}(\overline{A})=1-\mathbb{P}(A) \) ; si \( A\subset B \), \( \mathbb{P}(A)\le\mathbb{P}(B) \) ; \( \mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B) \) ; sous-additivité \( \mathbb{P}\big(\bigcup A_n\big)\le\sum\mathbb{P}(A_n) \). Continuité : si \( (A_n) \) est croissante, \( \mathbb{P}\big(\bigcup A_n\big)=\lim\mathbb{P}(A_n) \) ; si elle est décroissante, \( \mathbb{P}\big(\bigcap A_n\big)=\lim\mathbb{P}(A_n) \).

Exemple 1 Sur \( \Omega=\mathbb{N}^* \) posons \( p_k=2^{-k} \). Comme \( \sum_{k\ge1}2^{-k}=1 \), c’est une probabilité. L’événement « k est pair » a pour probabilité \( \sum_{j\ge1}2^{-2j}=\dfrac{1/4}{1-1/4}=\dfrac13 \).

2. Probabilité conditionnelle

Conditionnement Si \( \mathbb{P}(B)>0 \), la probabilité de \( A \) sachant \( B \) est \( \mathbb{P}(A\mid B)=\dfrac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)} \). L’application \( A\mapsto\mathbb{P}(A\mid B) \) est elle-même une probabilité.

Formules Composition : \( \mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(B)\,\mathbb{P}(A\mid B) \). Probabilités totales : si \( (B_i) \) est un système complet d’événements (fini ou dénombrable, de probabilités non nulles), \( \mathbb{P}(A)=\sum_i\mathbb{P}(B_i)\,\mathbb{P}(A\mid B_i) \). Bayes : \( \mathbb{P}(B_j\mid A)=\dfrac{\mathbb{P}(B_j)\,\mathbb{P}(A\mid B_j)}{\sum_i\mathbb{P}(B_i)\,\mathbb{P}(A\mid B_i)} \).

Méthode Dessiner un arbre pondéré : les branches du premier niveau portent \( \mathbb{P}(B_i) \), celles du second \( \mathbb{P}(A\mid B_i) \). On multiplie le long d’un chemin, on additionne les chemins qui mènent à \( A \).

Exemple 2 Une machine A produit 60 % des pièces d’un atelier, dont 2 % sont défectueuses ; une machine B produit le reste, dont 5 % sont défectueuses. Par les probabilités totales, \( \mathbb{P}(D)=0{,}6\times0{,}02+0{,}4\times0{,}05=0{,}032 \). Par la formule de Bayes, \( \mathbb{P}(B\mid D)=\dfrac{0{,}020}{0{,}032}=\dfrac58 \) : une pièce défectueuse vient de B dans 62,5 % des cas, bien que B produise moins.

3. Indépendance

Indépendance Deux événements sont indépendants si \( \mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) \). Une famille \( (A_i) \) est mutuellement indépendante si, pour toute sous-famille finie \( J \), \( \mathbb{P}\big(\bigcap_{i\in J}A_i\big)=\prod_{i\in J}\mathbb{P}(A_i) \).

Deux pièges Des événements indépendants deux à deux ne sont pas forcément mutuellement indépendants. Et deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, puisque \( \mathbb{P}(A\cap B)=0\ne\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) \).

4. Variables aléatoires discrètes

Une variable aléatoire discrète est une application \( X:\Omega\to E \) où \( E \) est dénombrable (le plus souvent une partie de \( \mathbb{R} \)). Sa loi est la famille \( \big(x,\mathbb{P}(X=x)\big) \), de somme 1. Pour toute fonction \( \varphi \), on a le théorème de transfert : \( \mathbb{E}(\varphi(X))=\sum_x\varphi(x)\,\mathbb{P}(X=x) \) dès que la série converge absolument. Deux variables \( X \) et \( Y \) sont indépendantes si \( \mathbb{P}(X=x,Y=y)=\mathbb{P}(X=x)\mathbb{P}(Y=y) \) pour tous \( x,y \).

5. Espérance et variance

Espérance, variance \( X \) admet une espérance si \( \sum|x|\,\mathbb{P}(X=x) \) converge ; alors \( \mathbb{E}(X)=\sum x\,\mathbb{P}(X=x) \). Si \( X^2 \) est d’espérance finie, \( \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}\big((X-\mathbb{E}(X))^2\big)=\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)^2 \).

Propriétés Linéarité de l’espérance ; \( \operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X) \) ; si \( X \) et \( Y \) sont indépendantes, \( \operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y) \). Si \( X \) est à valeurs dans \( \mathbb{N} \), \( \mathbb{E}(X)=\sum_{k\ge1}\mathbb{P}(X\ge k) \).

Exemple 3 Soit \( X \) de loi \( \mathbb{P}(X=k)=\dfrac{k}{15} \) pour \( k=1,\dots,5 \). Alors \( \mathbb{E}(X)=\dfrac{1+4+9+16+25}{15}=\dfrac{11}{3} \), \( \mathbb{E}(X^2)=\dfrac{1+8+27+64+125}{15}=15 \), donc \( \operatorname{Var}(X)=15-\dfrac{121}{9}=\dfrac{14}{9} \).

6. Lois usuelles

Loi	Valeurs et probabilité	Espérance	Variance
Bernoulli \( \mathcal{B}(p) \)	\( \mathbb{P}(X=1)=p \)	\( p \)	\( p(1-p) \)
Binomiale \( \mathcal{B}(n,p) \)	\( \binom nk p^k(1-p)^{n-k} \), \( 0\le k\le n \)	\( np \)	\( np(1-p) \)
Géométrique \( \mathcal{G}(p) \)	\( p(1-p)^{k-1} \), \( k\ge1 \)	\( \dfrac1p \)	\( \dfrac{1-p}{p^2} \)
Poisson \( \mathcal{P}(\lambda) \)	\( e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!} \), \( k\ge0 \)	\( \lambda \)	\( \lambda \)
Uniforme sur \( \{1,\dots,n\} \)	\( \dfrac1n \)	\( \dfrac{n+1}2 \)	\( \dfrac{n^2-1}{12} \)

La loi binomiale compte les succès de \( n \) épreuves indépendantes ; la loi géométrique donne le rang du premier succès ; la loi de Poisson modélise les événements rares (elle approche \( \mathcal{B}(n,p) \) quand \( n \) est grand, \( p \) petit et \( np\approx\lambda \)).

Probabilités discrètes Licence L2 : diagrammes en barres de trois lois de Poisson de paramètres 1, 3 et 6, qui s’étalent et se décalent quand le paramètre augmente

Exemple 4 Un joueur lance une pièce amenant pile avec la probabilité \( \tfrac14 \) jusqu’au premier pile. Le rang \( X \) suit \( \mathcal{G}(1/4) \). Alors \( \mathbb{P}(X>3)=\big(\tfrac34\big)^3=\dfrac{27}{64} \) et \( \mathbb{E}(X)=4 \). La loi géométrique est sans mémoire : \( \mathbb{P}(X>m+n\mid X>m)=\mathbb{P}(X>n) \).

Zyro Pour reconnaître une loi, demande-toi ce qu’on compte : des succès parmi \( n \) essais (binomiale), un temps d’attente (géométrique), des arrivées rares (Poisson).

7. Fonction génératrice

Fonction génératrice Pour \( X \) à valeurs dans \( \mathbb{N} \), \( G_X(s)=\mathbb{E}(s^X)=\sum_{n\ge0}\mathbb{P}(X=n)\,s^n \). La série converge normalement sur \( [-1,1] \) et \( G_X(1)=1 \).

Propriétés (i) \( G_X \) détermine la loi de \( X \) (unicité des coefficients d’une série entière). (ii) \( \mathbb{E}(X)=G_X'(1) \) lorsque cette dérivée à gauche est finie, et alors \( \operatorname{Var}(X)=G_X''(1)+G_X'(1)-G_X'(1)^2 \). (iii) Si \( X \) et \( Y \) sont indépendantes, \( G_{X+Y}=G_XG_Y \).

Exemple 5 On a \( G_{\mathcal{B}(n,p)}(s)=(1-p+ps)^n \). Si \( X\sim\mathcal{B}(5,0{,}3) \) et \( Y\sim\mathcal{B}(7,0{,}3) \) sont indépendantes, \( G_{X+Y}(s)=(0{,}7+0{,}3s)^{12} \) : la somme suit \( \mathcal{B}(12;0{,}3) \), d’espérance \( 3{,}6 \).

8. Inégalités de concentration et loi faible des grands nombres

Markov Si \( X\ge0 \) admet une espérance et \( a>0 \), alors \( \mathbb{P}(X\ge a)\le\dfrac{\mathbb{E}(X)}{a} \).

Preuve. On a \( a\,\mathbf{1}_{\{X\ge a\}}\le X \) ; on prend l’espérance.

Bienaymé-Tchebychev Si \( X \) admet une variance et \( \varepsilon>0 \), alors \( \mathbb{P}\big(|X-\mathbb{E}(X)|\ge\varepsilon\big)\le\dfrac{\operatorname{Var}(X)}{\varepsilon^2} \).

Preuve. Markov appliquée à \( (X-\mathbb{E}(X))^2\ge0 \) avec \( a=\varepsilon^2 \).

Exemple 6 Si \( \mathbb{E}(X)=50 \) et \( \sigma=5 \), alors avec \( \varepsilon=15 \) : \( \mathbb{P}(|X-50|\ge15)\le\dfrac{25}{225}=\dfrac19 \), donc \( X \) est dans \( ]35;65[ \) avec une probabilité au moins égale à \( \dfrac89 \).

Loi faible des grands nombres Soit \( (X_i) \) des variables indépendantes de même loi, d’espérance \( m \) et de variance \( \sigma^2 \). Si \( S_n=X_1+\dots+X_n \), alors pour tout \( \varepsilon>0 \), \( \mathbb{P}\Big(\Big|\dfrac{S_n}{n}-m\Big|\ge\varepsilon\Big)\le\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\xrightarrow[n\to\infty]{}0 \).

Preuve. \( \mathbb{E}(S_n/n)=m \) et, par indépendance, \( \operatorname{Var}(S_n/n)=\dfrac{n\sigma^2}{n^2}=\dfrac{\sigma^2}{n} \) ; on applique Bienaymé-Tchebychev.

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À retenir

Sur un univers dénombrable, \( \mathbb{P}(A)=\sum_{\omega\in A}p_\omega \) avec \( \sum p_\omega=1 \) ; la σ-additivité donne la continuité monotone.
Probabilités totales et Bayes s’appliquent à un système complet ; un arbre pondéré organise le calcul.
Indépendance mutuelle ≠ indépendance deux à deux ; incompatibles non négligeables ⇒ dépendants.
Espérance : convergence absolue exigée ; \( \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)^2 \) ; additivité de la variance si indépendance.
Lois usuelles : \( np,\ np(1-p) \) ; \( 1/p,\ (1-p)/p^2 \) ; \( \lambda,\lambda \).
\( G_X(s)=\mathbb{E}(s^X) \) : \( G_X'(1)=\mathbb{E}(X) \), \( G_{X+Y}=G_XG_Y \) si indépendance.
Markov, Bienaymé-Tchebychev, puis loi faible des grands nombres : \( \mathbb{P}(|S_n/n-m|\ge\varepsilon)\le\sigma^2/(n\varepsilon^2) \).