Fonctions de référence : exercices corrigés de maths 2de à télécharger en PDF

1 Lire une fonction affine ★★★

1. Le coefficient directeur est \(a = -3\) et l’ordonnée à l’origine est \(b = 4\).
2. \(f(2) = -3 \times 2 + 4 = -2\) et \(f(-1) = -3 \times (-1) + 4 = 7\).
3. Comme \(a = -3 < 0\), la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\) (cohérent : \(f(-1) = 7 > f(2) = -2\)).

2 Comparer des carrés ★★★

1. Les deux nombres sont positifs et la fonction carré est croissante sur \([0\,;+\infty[\). Comme \(3{,}2 > 2{,}9\), on a \(3{,}2^2 > 2{,}9^2\).
2. Les deux nombres sont négatifs et la fonction carré est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\). Comme \(-7 < -5\), on a \((-7)^2 > (-5)^2\) (vérification : \(49 > 25\)).

3 Quelques inverses ★★★

\(\dfrac{1}{4} = 0{,}25\) ; \(\dfrac{1}{-2} = -0{,}5\) ; \(\dfrac{1}{0{,}5} = 2\) ; \(\dfrac{1}{-0{,}25} = -4\) ; \(\dfrac{1}{10} = 0{,}1\).

On remarque que plus un nombre positif est grand, plus son inverse est petit : c’est la décroissance de la fonction inverse.

4 Racines carrées ★★★

1. \(\sqrt{81} = 9\) car \(9^2 = 81\) ; \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\) car \(0{,}5^2 = 0{,}25\) ; \(\sqrt{1{,}44} = 1{,}2\) car \(1{,}2^2 = 1{,}44\).
2. \(2{,}6^2 = 6{,}76\) et \(6{,}76 < 7\). La fonction racine carrée étant croissante, \(\sqrt{6{,}76} < \sqrt{7}\), donc \(2{,}6 < \sqrt{7}\).

5 Vrai ou faux : parité ★★★

1. Vrai : \((-x)^6 = x^6\) pour tout réel \(x\).
2. Faux : \(\dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x}\), elle est impaire (par exemple \(f(-2) = -0{,}5 \neq f(2) = 0{,}5\)).
3. Faux : \(h(1) = 2\) et \(h(-1) = 0\), or une fonction impaire vérifierait \(h(-1) = -h(1) = -2\).

6 Le forfait du bowling ★★★

1. \(f(x) = 2{,}5x + 3\) : c’est une fonction affine, croissante car \(2{,}5 > 0\).
2. \(f(4) = 2{,}5 \times 4 + 3 = 13\). Quatre parties coûtent \(13\) €.
3. On résout \(2{,}5x + 3 = 28\), soit \(2{,}5x = 25\) et \(x = 10\). On peut jouer \(10\) parties.

7 Aire d’un carré ★★★

1. \(A(7{,}5) = 7{,}5^2 = 56{,}25\) cm².
2. \(x^2 = 144\) avec \(x > 0\) donne \(x = \sqrt{144} = 12\) cm.
3. \(A(2x) = (2x)^2 = 4x^2 = 4A(x)\) : l’aire est multipliée par \(4\).

8 Retrouver une fonction affine ★★★

1. \(a = \dfrac{7 - (-5)}{2 - (-1)} = \dfrac{12}{3} = 4\). Puis \(f(2) = 4 \times 2 + b = 7\) donne \(b = -1\). Donc \(f(x) = 4x - 1\). Vérification : \(f(-1) = -4 - 1 = -5\). ✔
2. \(4x - 1 = 0\) donne \(x = \dfrac{1}{4}\).

9 Encadrer une inverse ★★★

1. La fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;+\infty[\) : \(\dfrac{1}{0{,}5} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{0{,}2}\), soit \(2 \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant 5\).
2. Elle est décroissante sur \(]-\infty\,;0[\) : \(\dfrac{1}{-2} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{-4}\), soit \(-0{,}5 \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant -0{,}25\).
3. L’intervalle \([-1\,;3]\) contient \(0\), où \(\dfrac{1}{x}\) n’est pas définie ; de plus, près de \(0\) les valeurs de \(\dfrac{1}{x}\) deviennent aussi grandes (en valeur absolue) qu’on veut, donc il n’y a pas d’encadrement.

10 Équations et inéquations ★★★

1. \(x = 7\) ou \(x = -7\).
2. Un carré est toujours positif ou nul : aucune solution.
3. \(x^2 < 9\) équivaut à \(-3 < x < 3\) : la parabole est sous la droite \(y = 9\) entre les abscisses \(-3\) et \(3\). Ensemble des solutions : \(]-3\,;3[\).
4. \(x^2 \geqslant 25\) équivaut à \(x \leqslant -5\) ou \(x \geqslant 5\) : \(]-\infty\,;-5] \cup [5\,;+\infty[\).
5. \(\dfrac{1}{x} = -0{,}4\) donne \(x = \dfrac{1}{-0{,}4} = -2{,}5\).

11 Paire, impaire ou ni l’une ni l’autre ? ★★★

Les trois ensembles de définition sont égaux à \(\mathbb{R}\), symétrique par rapport à \(0\).

1. \(f(-x) = \dfrac{(-x)^2}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{x^2}{x^2 + 1} = f(x)\) : \(f\) est paire.
2. \(g(-x) = \dfrac{-x^3}{x^2 + 4} = -g(x)\) : \(g\) est impaire.
3. \(h(1) = 2\) et \(h(-1) = 4\). Or \(4 \neq 2\) et \(4 \neq -2\) : \(h\) n’est ni paire ni impaire.

12 Une parabole et une droite ★★★

1. \(f(x) - g(x) = x^2 - 2x = x(x - 2)\).
2. Ce produit est nul en \(0\) et en \(2\), négatif pour \(0 < x < 2\), positif pour \(x < 0\) et pour \(x > 2\).
3. La parabole est au-dessus de la droite sur \(]-\infty\,;0]\) et sur \([2\,;+\infty[\), en dessous sur \([0\,;2]\). Les points communs sont \((0\,;0)\) et \((2\,;4)\).

13 Lire une forme canonique ★★★

1. \(f(x) = 2(x - (-1))^2 + (-8)\) : sommet \(S(-1\,;-8)\). Comme \(2 > 0\), \(f\) décroît sur \(]-\infty\,;-1]\), croît sur \([-1\,;+\infty[\) et son minimum est \(-8\).
2. \(2(x + 1)^2 = 8\) donne \((x + 1)^2 = 4\), donc \(x + 1 = 2\) ou \(x + 1 = -2\) : \(x = 1\) ou \(x = -3\).
3. \(f(x) = 2(x^2 + 2x + 1) - 8 = 2x^2 + 4x - 6\).

14 Le ballon ★★★

1. Ici \(a = -5 < 0\) donc \(h\) admet un maximum, atteint en \(\alpha = -\dfrac{20}{2 \times (-5)} = 2\). Ce maximum vaut \(h(2) = -20 + 40 = 20\). Le ballon culmine à \(20\) m au bout de \(2\) secondes.
2. \(h(t) = -5t(t - 4) = 0\) donne \(t = 0\) ou \(t = 4\). Le ballon retombe au bout de \(4\) secondes.

15 Racine carrée contre identité ★★★

1. Pour \(x \geqslant 0\), \(x = \left(\sqrt{x}\right)^2\). Donc \(\sqrt{x} - x = \sqrt{x} - \sqrt{x} \times \sqrt{x} = \sqrt{x}\,(1 - \sqrt{x})\).
2. \(\sqrt{x} \geqslant 0\), donc le signe est celui de \(1 - \sqrt{x}\). Or \(1 - \sqrt{x} \geqslant 0\) équivaut à \(\sqrt{x} \leqslant 1\), soit \(x \leqslant 1\) (la fonction carré est croissante sur les positifs). Ainsi \(\sqrt{x} \geqslant x\) sur \([0\,;1]\) et \(\sqrt{x} \leqslant x\) sur \([1\,;+\infty[\).
3. \(0{,}64 \leqslant 1\) donc \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8 \geqslant 0{,}64\). Et \(1{,}21 \geqslant 1\) donc \(\sqrt{1{,}21} = 1{,}1 \leqslant 1{,}21\).

16 L’enclos ★★★

1. Le périmètre vaut \(2x + 2y = 40\), donc \(y = 20 - x\). L’aire est \(A(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x\).
2. \(\alpha = -\dfrac{20}{2 \times (-1)} = 10\) et \(\beta = A(10) = -100 + 200 = 100\). Donc \(A(x) = -(x - 10)^2 + 100\).
3. \(A\) est maximale en \(x = 10\) car \(a = -1 < 0\). L’enclos est un carré de \(10\) m sur \(10\) m, d’aire \(100\) m².

17 Parabole et droite sécantes ★★★

1. \(f(x) - g(x) = x^2 - 4x + 3 - x + 1 = x^2 - 5x + 4\), et \((x - 1)(x - 4) = x^2 - 5x + 4\). ✔
2. \((x - 1)(x - 4) = 0\) donne \(x = 1\) ou \(x = 4\). Comme \(g(1) = 0\) et \(g(4) = 3\), les points sont \(M(1\,;0)\) et \(N(4\,;3)\) (on vérifie \(f(1) = 0\) et \(f(4) = 3\)).
3. Le produit \((x - 1)(x - 4)\) est négatif pour \(1 < x < 4\) : la parabole est sous la droite sur \([1\,;4]\), et au-dessus sur \(]-\infty\,;1]\) et \([4\,;+\infty[\).

18 Vrai ou faux : justifie ★★★

1. Vrai : \((f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x)\).
2. Vrai : \((fg)(-x) = f(-x)\,g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = f(x)\,g(x)\).
3. Faux : \(-1 < 1\) mais \(\dfrac{1}{-1} = -1 < 1 = \dfrac{1}{1}\) ; la fonction est décroissante sur chaque intervalle, pas sur \(\mathbb{R}^*\) entier.
4. Faux : pour \(x = -3\), \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 \neq -3\). La bonne égalité est \(\sqrt{x^2} = |x|\).

19 Résoudre avec la forme canonique ★★★

1. \((x + 3)^2 - 4 = x^2 + 6x + 9 - 4 = x^2 + 6x + 5\). ✔
2. \((x + 3)^2 = 4\) donne \(x + 3 = 2\) ou \(x + 3 = -2\) : \(x = -1\) ou \(x = -5\).
3. \(f(x) = -4\) équivaut à \((x + 3)^2 = 0\), donc \(x = -3\) (le sommet). \(f(x) = -5\) équivaut à \((x + 3)^2 = -1\), impossible : le minimum de \(f\) est \(-4\), donc aucune solution.

20 Durée d’un trajet ★★★

1. \(t(80) = \dfrac{240}{80} = 3\) h.
2. La fonction \(v \mapsto \dfrac{1}{v}\) est décroissante sur \([60\,;120]\), donc \(t\) aussi : \(t(120) \leqslant t(v) \leqslant t(60)\), soit \(2 \leqslant t(v) \leqslant 4\) heures.
3. \(\dfrac{240}{v} = 2{,}5\) donne \(v = \dfrac{240}{2{,}5} = 96\) km/h.
4. \(t(100) = 2{,}4\) h et \(t(120) = 2\) h. On gagne \(0{,}4\) h, soit \(24\) minutes.