Vecteurs du plan : exercices corrigés de maths 2de à télécharger en PDF

1 Coordonnées d’un vecteur ★★★

\overrightarrow{AB} \((7 - 2 \,;\, 1 - (-3)) = (5 \,;\, 4)\).

\overrightarrow{BA} \((2 - 7 \,;\, -3 - 1) = (-5 \,;\, -4)\) : c’est l’opposé de \overrightarrow{AB}.

\(AB = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41} \approx 6{,}40\).

2 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : l’égalité impose même direction, même sens et même norme.
2. Faux : \overrightarrow{BA} est l’opposé de \overrightarrow{AB} (sens contraire), sauf si \(A = B\).
3. Faux : dans \(ABCD\), c’est \overrightarrow{AB} \(=\) \overrightarrow{DC} ; \overrightarrow{CD} est l’opposé de \overrightarrow{DC}.
4. Vrai : \(\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5\).

3 Somme et multiple en coordonnées ★★★

\(\vec{u} + \vec{v} = (-2 + 5 \,;\, 6 + (-1)) = (3 \,;\, 5)\).

\(\vec{u} - \vec{v} = (-2 - 5 \,;\, 6 - (-1)) = (-7 \,;\, 7)\).

\(3\vec{u} = (-6 \,;\, 18)\).

4 Chasles à la chaîne ★★★

1. \overrightarrow{AB} \(+\) \overrightarrow{BD} \(=\) \overrightarrow{AD} (Chasles).
2. \overrightarrow{CE} \(+\) \overrightarrow{EF} \(+\) \overrightarrow{FG} \(=\) \overrightarrow{CF} \(+\) \overrightarrow{FG} \(=\) \overrightarrow{CG}.
3. \overrightarrow{AB} \(-\) \overrightarrow{CB} \(=\) \overrightarrow{AB} \(+\) \overrightarrow{BC} \(=\) \overrightarrow{AC}.
4. \overrightarrow{PQ} \(+\) \overrightarrow{QP} \(= \vec{0}\), car les deux vecteurs sont opposés.

5 Milieu d’un segment ★★★

\(x_I = \dfrac{-5 + 3}{2} = -1\) et \(y_I = \dfrac{4 + (-2)}{2} = 1\).

Donc \(I(-1\,;\,1)\).

6 Quatrième sommet ★★★

\(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si \overrightarrow{AB} \(=\) \overrightarrow{DC} .

\overrightarrow{AB} \((4 \,;\, 1)\) et \overrightarrow{DC} \((6 - x_D \,;\, 6 - y_D)\), donc \(6 - x_D = 4\) et \(6 - y_D = 1\), soit \(D(2\,;\,5)\).

Contrôle : \overrightarrow{BC} \((1 \,;\, 4)\) et \overrightarrow{AD} \((1 \,;\, 4)\).

7 Pion sur un damier ★★★

Le pion arrive en \(M'\) tel que @MM'@ \(= \vec{u}\) : \(M'(3 + (-4)\,;\,-2 + 5) = M'(-1\,;\,3)\).

Pour arriver en \(O\), on part de \(N\) avec \overrightarrow{NO} \(= \vec{u}\) : \(N = O - \vec{u}\), donc \(N(4\,;\,-5)\).

8 Colinéaires ou non ? ★★★

\(4\times 15 - (-10)\times(-6) = 60 - 60 = 0\) : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires, avec \(\vec{v} = -\dfrac{5}{2}\vec{u}\).

\(3\times 11 - 6\times 5 = 33 - 30 = 3 \neq 0\) : \(\vec{w}\) et \(\vec{z}\) ne sont pas colinéaires.

9 Un paramètre à trouver ★★★

Colinéarité \(\iff 3\times 10 - (-6)\times m = 0 \iff 30 + 6m = 0 \iff m = -5\).

Contrôle : \(\vec{u}\,(3 \,;\, -5)\) et \(\vec{v} = -2\vec{u}\).

10 Trois arbres alignés ? ★★★

\overrightarrow{RS} \((3 \,;\, 4)\), \overrightarrow{RT} \((9 \,;\, 12)\) : \(3\times 12 - 9\times 4 = 0\), donc \(R\), \(S\), \(T\) sont alignés.

\overrightarrow{UV} \((2 \,;\, 5)\), \overrightarrow{UW} \((5 \,;\, 12)\) : \(2\times 12 - 5\times 5 = -1 \neq 0\), donc \(U\), \(V\), \(W\) ne sont pas alignés.

11 Deux droites parallèles ? ★★★

\overrightarrow{AB} \((3 \,;\, 3)\) et \overrightarrow{CD} \((5 \,;\, 5)\) : \(3\times 5 - 5\times 3 = 0\), donc \((AB)\parallel(CD)\).

Pour exclure qu’elles soient confondues, on teste \(C\) : \overrightarrow{AC} \((-3 \,;\, 4)\) et \(3\times 4 - (-3)\times 3 = 21 \neq 0\), donc \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés. Les droites sont strictement parallèles.

12 Le drone ★★★

Le déplacement total est \(\vec{u} + \vec{v} = (23 \,;\, -25)\), donc le drone arrive en \(B(10 + 23\,;\,5 - 25) = B(33\,;\,-20)\).

\(AB = \sqrt{23^2 + (-25)^2} = \sqrt{1154} \approx 34{,}0\) m.

13 Combinaisons de vecteurs ★★★

\(3\vec{u} - 2\vec{v} = (6 \,;\, -3) - (-6 \,;\, 8) = (12 \,;\, -11)\).

\(\vec{u} + \vec{v} = (-1 \,;\, 3)\), donc \(\dfrac{1}{2}(\vec{u} + \vec{v}) = \left(-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{3}{2}\right)\).

14 Quatrième sommet et centre ★★★

Les diagonales ont le même milieu : \(x_A + x_C = x_B + x_D\) donne \(x_D = -2 + 6 - 5 = -1\) ; \(y_D = -1 + 5 - (-2) = 6\). Donc \(D(-1\,;\,6)\).

Le centre est le milieu de \([AC]\) : \(I(2\,;\,2)\). C’est aussi le milieu de \([BD]\) : \(\left(\dfrac{5 - 1}{2}\,;\,\dfrac{-2 + 6}{2}\right) = (2\,;\,2)\).

15 Un parallélogramme particulier ? ★★★

\overrightarrow{AB} \((4 \,;\, 3)\) et \overrightarrow{DC} \((4 \,;\, 3)\) : \overrightarrow{AB} \(=\) \overrightarrow{DC}, donc \(ABCD\) est un parallélogramme.

\(AB = \sqrt{16 + 9} = 5\) et \(AD = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{29}\). Comme \(AB \neq AD\), ce n’est pas un losange.

\overrightarrow{AC} \((9 \,;\, 1)\) donne \(AC^2 = 82\), \overrightarrow{BD} \((1 \,;\, -5)\) donne \(BD^2 = 26\). Les diagonales n’ont pas la même longueur : ce n’est pas un rectangle.

16 Trois points alignés avec un paramètre ★★★

\overrightarrow{AB} \((6 \,;\, 3)\) et \overrightarrow{AC} \((12 \,;\, y - 1)\). Alignement \(\iff 6(y - 1) - 12\times 3 = 0 \iff y - 1 = 6 \iff y = 7\).

Contrôle : \overrightarrow{AC} \((12 \,;\, 6) = 2\)\overrightarrow{AB}.

17 Droite des milieux ★★★

\overrightarrow{IJ} \(=\) \overrightarrow{IA} \(+\) \overrightarrow{AJ} (Chasles). Or \overrightarrow{IA} \(= \dfrac{1}{2}\)\overrightarrow{BA} et \overrightarrow{AJ} \(= \dfrac{1}{2}\)\overrightarrow{AC}.

Donc \overrightarrow{IJ} \(= \dfrac{1}{2}\left(\)\overrightarrow{BA} \(+\) \overrightarrow{AC}\(\right) = \dfrac{1}{2}\)\overrightarrow{BC}.

Conclusion : \overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{BC} sont colinéaires, donc \((IJ)\parallel(BC)\), et \(IJ = \dfrac{1}{2}BC\).

18 Un milieu qui se cache ★★★

\overrightarrow{AI} \(=\) \overrightarrow{AD} \(+\) \overrightarrow{DI} (Chasles). Comme \(I\) est le milieu de \([DC]\), \overrightarrow{DI} \(= \dfrac{1}{2}\)\overrightarrow{DC}, et comme \(ABCD\) est un parallélogramme, \overrightarrow{DC} \(=\) \overrightarrow{AB}. Donc \overrightarrow{AI} \(=\) \overrightarrow{AD} \(+ \dfrac{1}{2}\)\overrightarrow{AB}.

Avec \(J\) milieu de \([AB]\) : \overrightarrow{AJ} \(= \dfrac{1}{2}\)\overrightarrow{AB}. Alors \overrightarrow{JI} \(=\) \overrightarrow{JA} \(+\) \overrightarrow{AI} \(= -\dfrac{1}{2}\)\overrightarrow{AB} \(+\) \overrightarrow{AD} \(+ \dfrac{1}{2}\)\overrightarrow{AB} \(=\) \overrightarrow{AD}.

Ainsi \overrightarrow{JI} \(=\) \overrightarrow{AD} : \(AJID\) est un parallélogramme.

19 Deux droites parallèles par Chasles ★★★

\overrightarrow{DE} \(=\) \overrightarrow{DA} \(+\) \overrightarrow{AE} \(= -\dfrac{3}{2}\)\overrightarrow{AB} \(+ \dfrac{3}{2}\)\overrightarrow{AC} \(= \dfrac{3}{2}\left(\)\overrightarrow{AC} \(-\) \overrightarrow{AB}\(\right)\).

Or \overrightarrow{AC} \(-\) \overrightarrow{AB} \(=\) \overrightarrow{BA} \(+\) \overrightarrow{AC} \(=\) \overrightarrow{BC}. Donc \overrightarrow{DE} \(= \dfrac{3}{2}\)\overrightarrow{BC} : ces vecteurs sont colinéaires et \((DE)\parallel(BC)\).

20 Centre de gravité ★★★

Notons \(G(x\,;\,y)\). La somme vaut \((1 - x + (-4 - x) + (6 - x) \,;\, 5 - y + (2 - y) + (-1 - y)) = (3 - 3x \,;\, 6 - 3y)\).

Elle est nulle si \(x = 1\) et \(y = 2\) : \(G(1\,;\,2)\) (la moyenne des coordonnées des trois sommets).

Contrôle : \overrightarrow{GA} \((0 \,;\, 3)\), \overrightarrow{GB} \((-5 \,;\, 0)\), \overrightarrow{GC} \((5 \,;\, -3)\), de somme \(\vec{0}\).

21 Affirmations sur un parallélogramme ★★★

1. Vrai : c’est la règle du parallélogramme.
2. Vrai : \overrightarrow{AC} \(=\) \overrightarrow{AB} \(+\) \overrightarrow{AD} et \overrightarrow{BD} \(=\) \overrightarrow{BA} \(+\) \overrightarrow{AD} \(= -\)\overrightarrow{AB} \(+\) \overrightarrow{AD} ; la somme vaut \(2\)\overrightarrow{AD}.
3. Faux : si \(\vec{v} = \vec{0}\) et \(\vec{u} \neq \vec{0}\), les vecteurs sont colinéaires (l’un est nul) mais aucun \(k\) ne convient, car \(k\vec{0} = \vec{0}\).