Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.
1 Discriminant et équations / 4 pts
- \(\Delta = 4 + 12 = 16\) (0,5 pt), \(x = \dfrac{2 \pm 4}{6}\), soit \(1\) et \(-\dfrac{1}{3}\) (1,5 pt).
- \(\Delta = 1 - 32 = -31 < 0\) (0,5 pt) : \(S = \varnothing\) (0,5 pt).
- \(\Delta = 400 - 400 = 0\) (0,5 pt), \(x_0 = \dfrac{20}{8} = \dfrac{5}{2}\) (0,5 pt).
2 Forme canonique / 4 pts
- \(f(x) = 2(x^2 - 4x) + 5 = 2\left[(x-2)^2 - 4\right] + 5 = 2(x-2)^2 - 3\) (2 pts).
- Sommet \(S(2\,;-3)\) (0,5 pt) ; \(f\) décroît sur \(]-\infty\,;2]\), croît sur \([2\,;+\infty[\), minimum \(-3\) (0,5 pt).
- \(\Delta = 64 - 40 = 24 > 0\) : deux racines (1 pt).
3 Signe et inéquation / 4 pts
- \(\Delta = 1 + 24 = 25\) (0,5 pt), racines \(x = \dfrac{-1 \pm 5}{-2}\), soit \(3\) et \(-2\) (1 pt).
- \(a < 0\) : \(g\) est négative avant \(-2\), positive entre \(-2\) et \(3\), négative après \(3\) (1 pt).
- \(S = [-2\,;3]\) (1,5 pt, dont 0,5 pour les crochets fermés).
4 Racines évidentes / 3 pts
- \(16 - 44 + 28 = 0\) (1 pt).
- La somme vaut \(11\), donc l’autre racine est \(11 - 4 = 7\) (1 pt).
- \(4 \times 7 = 28 = \dfrac{c}{a}\) (1 pt).
5 L’enclos / 5 pts
- Longueur : \(30 - 2x\) ; \(A(x) = x(30 - 2x) = -2x^2 + 30x\), avec \(0 < x < 15\) (1 pt).
- \(-2x^2 + 30x \geq 100\) équivaut à \(x^2 - 15x + 50 \leq 0\) ; \(\Delta = 225 - 200 = 25\), racines \(5\) et \(10\) (1 pt) ; donc \(x \in [5\,;10]\) (1 pt).
- Maximum en \(\alpha = \dfrac{30}{4} = 7{,}5\) (1 pt) : \(A(7{,}5) = -112{,}5 + 225 = 112{,}5\) m² (1 pt).
