Algorithmique et Python : corrigé du contrôle de maths 1ère à télécharger en PDF

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Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.

Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice autorisée seulement quand l’énoncé le précise.

Sommaire

Le programme affiche 184 365. (1 pt)
\(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = 3u_n - 1\). La variable u contient \(u_5 = 365\) et S la somme \(u_0 + \dots + u_4 = 184\). (1 pt)

\(\text{tarif}(8) = 4 \times 8 = 32\) ; \(\text{tarif}(10) = 40\) ; \(\text{tarif}(25) = 40 + 3 \times 15 = 85\) ; \(\text{tarif}(40) = 100 + 2 \times 10 = 120\). (2 pts)
Pour \(n = 30\) : \(40 + 3 \times 20 = 100\) et \(100 + 2 \times 0 = 100\). Les deux formules coïncident, le prix ne fait pas de saut. (1 pt)

\(v_1 = 1{,}2 \times 50 + 5 = 65\) et \(v_2 = 1{,}2 \times 65 + 5 = 83\). (1 pt)
(2 pts)

v = 50
n = 0
while v <= 200:
v = 1.2*v + 5
n = n + 1
print(n)

On trouve \(v_6 \approx 198{,}95 \le 200\) et \(v_7 \approx 243{,}74 \gt 200\) : le programme renvoie 7. (1 pt)

\(f\) est continue, \(f'(x) = 3x^2 + 2 \gt 0\) donc \(f\) est strictement croissante ; \(f(1) = -2 \lt 0\) et \(f(2) = 7 \gt 0\). Il y a une unique solution \(\alpha\). (1,5 pt)
\(m = 1{,}5\) : \(f(1{,}5) = 1{,}375 \gt 0\), intervalle \([1\,;\,1{,}5]\). \(m = 1{,}25\) : \(f(1{,}25) \approx -0{,}547 \lt 0\), intervalle \([1{,}25\,;\,1{,}5]\). \(m = 1{,}375\) : \(f(1{,}375) \approx 0{,}350 \gt 0\), intervalle \([1{,}25\,;\,1{,}375]\). (2 pts)
L’amplitude est \(\dfrac{1}{2^3} = 0{,}125\) et \(1{,}25 \lt \alpha \lt 1{,}375\). (0,5 pt)

Quatre épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre \(0{,}25\) : loi binomiale \(\mathcal{B}(4\,;\,0{,}25)\). (1 pt)
\(P(X = 0) = 0{,}75^4 = 0{,}31640625 \approx 0{,}316\). (1 pt) \(P(X \ge 1) = 1 - 0{,}75^4 \approx 0{,}684\). (1 pt)

\(f(3) = 6\) et \(f(3+h) = (3+h)^2 - (3+h) = 6 + 5h + h^2\). Le taux vaut donc \(5 + h\). (1 pt)
Pour \(h = 0{,}01\), le taux vaut \(5{,}01\) ; quand \(h\) tend vers 0, il tend vers \(f'(3) = 5\). (1 pt)