Transformations et homothéties : exercices de maths 3ème à télécharger en PDF

1 Glisser sur la grille ★★★

Une translation déplace chaque point de 3 unités vers la droite et de 5 unités vers le haut. Dans un repère, on donne \(A(2\,;\,1)\), \(B(-4\,;\,0)\) et \(C(0\,;\,-3)\). Donne les coordonnées de leurs images \(A'\), \(B'\) et \(C'\).

2 Quelle transformation ? ★★★

Associe chaque situation à une transformation : symétrie axiale, symétrie centrale, rotation ou translation.

1. Un colis avance en ligne droite sur un tapis roulant.
2. Un arbre se reflète dans un lac calme.
3. L’aiguille des minutes avance d’un quart d’heure.
4. La dame d’un jeu de cartes est identique quand on retourne la carte tête en bas.

3 Symétrique par rapport à l’origine ★★★

Dans un repère d’origine \(O\), place mentalement les points \(A(3\,;\,-2)\), \(B(-5\,;\,4)\) et \(C(0\,;\,6)\). Donne les coordonnées de leurs symétriques par rapport à \(O\).

4 Longueurs et homothétie ★★★

Dans une homothétie de centre \(O\), calcule la distance demandée.

1. rapport \(3\) et \(OA=4\) cm : calcule \(OA'\) ;
2. rapport \(0{,}5\) et \(OB=9\) cm : calcule \(OB'\) ;
3. rapport \(-2\) et \(OC=3{,}5\) cm : calcule \(OC'\) et dis de quel côté de \(O\) se trouve \(C'\).

5 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

1. Une translation conserve les longueurs.
2. Une homothétie de rapport \(2\) double les aires.
3. Une rotation conserve les angles.
4. Une homothétie de rapport \(-3\) multiplie les longueurs par \(3\).

6 Agrandir une photo ★★★

Une photo rectangulaire mesure 6 cm sur 4 cm. On l’agrandit avec le rapport \(2{,}5\). Quelles sont les nouvelles dimensions, puis l’aire de l’agrandissement ?

7 Symétries par rapport à des droites ★★★

Dans un repère, détermine le symétrique de chaque point :

1. \(A(2\,;\,5)\) par rapport à l’axe des ordonnées ;
2. \(B(-3\,;\,-1)\) par rapport à l’axe des abscisses ;
3. \(C(4\,;\,4)\) par rapport à la droite verticale d’équation \(x=1\).

8 Quart de tour autour de l’origine ★★★

La rotation \(r\) de centre \(O\) (l’origine) et d’angle \(90^\circ\), dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, transforme le point \((x\,;\,y)\) en \((-y\,;\,x)\).

1. Détermine les images de \(A(3\,;\,1)\), \(B(-2\,;\,4)\) et \(C(5\,;\,-2)\).
2. Vérifie que \(OA=OA'\).
3. Quelle est l’image de \(A\) par la rotation de \(180^\circ\) ?

9 Homothétie dans un repère ★★★

Dans un repère d’origine \(O\), on considère l’homothétie de centre \(O\) : le point \((x\,;\,y)\) devient \((kx\,;\,ky)\). Soient \(A(1\,;\,2)\) et \(B(-2\,;\,1)\).

1. Donne les images de \(A\) et \(B\) pour \(k=3\).
2. Donne les images de \(A\) et \(B\) pour \(k=-2\).
3. Compare \(AB\) et la distance entre les deux images dans le cas \(k=3\).

10 Retrouver le rapport ★★★

Pour chaque homothétie de centre \(O\), détermine le rapport \(k\) d’après les mesures :

1. \(OA=5\) cm, \(OA'=20\) cm, \(A\) et \(A'\) du même côté de \(O\) ;
2. \(OB=6\) cm, \(OB'=2\) cm, \(B\) et \(B'\) de part et d’autre de \(O\) ;
3. \(OC=7{,}5\) cm, \(OC'=3\) cm, \(C\) et \(C'\) du même côté de \(O\).

11 Réduire un rectangle ★★★

Un rectangle de 12 cm sur 8 cm est réduit avec le rapport \(0{,}25\).

1. Quelles sont les dimensions de la réduction ?
2. Calcule l’aire avant et après, puis le quotient des deux aires.
3. Par quel nombre l’aire a-t-elle été multipliée ? Est-ce cohérent avec le cours ?

12 Triangles semblables ? ★★★

Le triangle \(ABC\) a pour côtés \(AB=6\) cm, \(BC=9\) cm et \(AC=12\) cm. Le triangle \(DEF\) a pour côtés \(DE=8\) cm, \(EF=12\) cm et \(DF=16\) cm. Le triangle \(GHI\) a pour côtés \(5\) cm, \(7\) cm et \(9\) cm.

1. \(ABC\) et \(DEF\) sont-ils semblables ? Si oui, donne le rapport d’agrandissement.
2. \(ABC\) et \(GHI\) sont-ils semblables ?

13 La maquette d’avion ★★★

Un avion de 36 m de long est reproduit en maquette à l’échelle \(\dfrac1{72}\) (réduction de rapport \(\dfrac1{72}\)).

1. Quelle est la longueur de la maquette, en cm ?
2. L’envergure de la maquette est de 40 cm. Quelle est l’envergure réelle, en m ?

14 Une frise de triangles ★★★

Les six triangles équilatéraux ci-dessus forment une frise.

1. Quelle transformation envoie le triangle 1 sur le triangle 3 ?
2. Quelle transformation envoie le triangle 1 sur le triangle 2 ? Précise son centre.
3. Le côté d’un triangle mesure 4 cm. Quelle est la longueur d’une frise de 12 triangles construite de la même façon ?

15 Homothétie de rapport négatif ★★★

Une homothétie \(h\) de centre \(O\) et de rapport \(-1{,}5\) transforme le triangle \(ABC\) en \(A'B'C'\). On sait que \(A'B'=21\) cm, \(B'C'=12\) cm et que l’aire de \(A'B'C'\) est \(135\text{ cm}^2\).

1. Calcule \(AB\) et \(BC\).
2. Calcule l’aire de \(ABC\).
3. Le triangle \(A'B'C'\) est-il plus grand ou plus petit que \(ABC\) ? Où se trouve \(A'\) par rapport à \(O\) et à \(A\) ?

16 Retrouver k à partir des aires ★★★

1. Une figure d’aire \(25\text{ cm}^2\) a pour image une figure d’aire \(100\text{ cm}^2\) par une homothétie. Quels sont les rapports possibles ?
2. Une figure d’aire \(48\text{ cm}^2\) a pour image une figure d’aire \(12\text{ cm}^2\). Même question.
3. Un bidon de \(2\) L est agrandi avec le rapport \(3\), puis un autre de \(2\) L est réduit avec le rapport \(\dfrac12\). Calcule les deux volumes.

17 Deux pizzas semblables ★★★

Une pizzeria vend une pizza de 20 cm de diamètre à 8 € et une pizza de 30 cm de diamètre à 15 €. On suppose que les deux pizzas sont des disques de même épaisseur : on compare donc leurs aires.

1. Quel est le rapport d’agrandissement des longueurs (du petit disque au grand) ?
2. Par quel nombre l’aire est-elle multipliée ?
3. Si le prix était proportionnel à l’aire, combien coûterait la grande pizza ? Laquelle est la plus avantageuse ?

18 Le carré qui tourne ★★★

\(ABCD\) est un carré de côté 8 cm, de centre \(O\), tracé dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. On note \(r\) la rotation de centre \(O\), d’angle \(90^\circ\), dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

1. Quelle est l’image de \(A\) ? de \(B\) ? Quelle est l’image du segment \([AB]\) ?
2. Quelle est l’image du triangle \(OAB\) ?
3. Calcule l’aire du carré, puis celle du triangle \(OAB\). Justifie.

19 Une homothétie dans un triangle ★★★

Dans le triangle \(ABC\), \(M\) est sur \([AB]\) et \(N\) sur \([AC]\) avec \((MN)\parallel(BC)\). On a \(AM=3\) cm, \(AB=7{,}5\) cm, \(BC=10\) cm, et l’aire de \(ABC\) est \(30\text{ cm}^2\).

1. Montre que \(AMN\) est l’image de \(ABC\) par l’homothétie de centre \(A\) et donne son rapport.
2. Calcule \(MN\).
3. Calcule l’aire de \(AMN\), puis celle du trapèze \(MBCN\).

20 Centre autre que l’origine ★★★

Dans un repère, soit \(\Omega(2\,;\,1)\). Pour trouver l’image d’un point \(M\), on repère le déplacement qui mène de \(\Omega\) à \(M\), on le multiplie par le rapport \(k\), puis on l’applique à partir de \(\Omega\). Soient \(A(3\,;\,2)\) et \(B(0\,;\,-1)\).

1. Détermine les images de \(A\) et \(B\) par l’homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(3\).
2. Détermine les images de \(A\) et \(B\) par l’homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(-2\).
3. Quelle remarque fais-tu sur l’image de \(A\) dans la question b ?

21 La hauteur de l’arbre ★★★

À la même heure, une personne de 1,8 m projette une ombre de 2,4 m et un arbre projette une ombre de 10 m. Les rayons du soleil sont parallèles. Quelle est la hauteur de l’arbre ?

22 Quels polygones pavent le plan ? ★★★

L’angle intérieur d’un polygone régulier à \(n\) côtés vaut \(\dfrac{180(n-2)}{n}\) degrés.

1. Calcule l’angle du triangle équilatéral, du carré, du pentagone, de l’hexagone et de l’octogone réguliers.
2. Lesquels pavent le plan à eux seuls (autour d’un sommet, les angles font \(360^\circ\)) ?
3. Montre qu’on peut paver le plan avec deux octogones réguliers et un carré autour de chaque sommet.