Transformations et homothéties : contrôle de maths 3ème à télécharger en PDF

1 Translation et symétrie centrale / 4 pts

Dans un repère, une translation déplace chaque point de 4 unités vers la gauche et de 3 unités vers le haut. On donne \(A(1\,;\,2)\), \(B(-2\,;\,-1)\) et \(C(5\,;\,0)\).

1. Donne les coordonnées des images \(A'\), \(B'\), \(C'\) par cette translation.
2. Donne les coordonnées du symétrique de \(A\) par rapport à l’origine.

2 Homothétie de rapport 2,5 / 4 pts

L’homothétie \(h\) de centre \(O\) et de rapport \(2{,}5\) transforme le triangle \(ABC\) en \(A'B'C'\). On donne \(OA=6\) cm, \(AB=4{,}2\) cm, \(\widehat{ABC}=40^\circ\) et l’aire de \(ABC\) est \(14\text{ cm}^2\).

1. Calcule \(OA'\).
2. Calcule \(A'B'\).
3. Donne la mesure de \(\widehat{A'B'C'}\) en justifiant.
4. Calcule l’aire de \(A'B'C'\).

3 Déterminer un rapport / 3 pts

Pour chaque cas, \(O\) est le centre d’une homothétie. Détermine son rapport.

1. \(OM=12\) cm, \(OM'=3\) cm, \(M\) et \(M'\) du même côté de \(O\).
2. \(OP=5\) cm, \(OP'=20\) cm, \(P\) et \(P'\) de part et d’autre de \(O\).
3. Une figure d’aire \(18\text{ cm}^2\) a pour image une figure d’aire \(50\text{ cm}^2\), le rapport étant positif.

4 Triangles semblables / 4 pts

Le triangle \(ABC\) a pour côtés \(AB=5\) cm, \(BC=12\) cm et \(AC=13\) cm. Le triangle \(DEF\) a pour côtés \(DE=7{,}5\) cm, \(EF=18\) cm et \(DF=19{,}5\) cm.

1. Montre que \(ABC\) est rectangle en \(B\).
2. Montre que \(DEF\) est un agrandissement de \(ABC\) et donne son rapport.
3. Que peux-tu dire de l’angle \(\widehat{DEF}\) ?
4. Calcule l’aire de \(DEF\), sachant que l’aire de \(ABC\) est \(30\text{ cm}^2\).

5 Maquette d’une tour / 3 pts

Une tour de 84 m de haut est reproduite en maquette avec une réduction de rapport \(\dfrac1{200}\). La calculatrice est autorisée.

1. Quelle est la hauteur de la maquette, en cm ?
2. Un réservoir de la tour a un volume de \(3\,200\text{ m}^3\). Quel est le volume du réservoir de la maquette, en \(\text{cm}^3\) ?
3. Une façade de la tour a une aire de \(2\,000\text{ m}^2\). Quelle est l’aire de cette façade sur la maquette, en \(\text{cm}^2\) ?

6 Pavages / 2 pts

1. Combien de triangles équilatéraux (angle \(60^\circ\)) faut-il autour d’un sommet pour paver le plan ?
2. Le pentagone régulier (angle \(108^\circ\)) pave-t-il le plan à lui seul ? Justifie.