Transformations et homothéties : exercices corrigés de maths 3ème à télécharger en PDF

1 Glisser sur la grille ★★★

On ajoute \(3\) à l’abscisse et \(5\) à l’ordonnée de chaque point.

\(A'(2+3\,;\,1+5)=A'(5\,;\,6)\) ; \(B'(-4+3\,;\,0+5)=B'(-1\,;\,5)\) ; \(C'(0+3\,;\,-3+5)=C'(3\,;\,2)\).

2 Quelle transformation ? ★★★

1. Le colis glisse sans tourner : c’est une translation.
2. Le reflet est le symétrique de l’arbre par rapport à la surface de l’eau : symétrie axiale.
3. L’aiguille tourne autour de son centre d’un quart de tour : rotation.
4. Retourner la carte tête en bas est un demi-tour autour de son centre : symétrie centrale.

3 Symétrique par rapport à l’origine ★★★

\(O\) est le milieu de chaque segment, donc on change le signe des deux coordonnées.

\(A'(-3\,;\,2)\), \(B'(5\,;\,-4)\), \(C'(0\,;\,-6)\) (car \(-0=0\)).

4 Longueurs et homothétie ★★★

1. \(OA'=3\times 4=12\) cm.
2. \(OB'=0{,}5\times 9=4{,}5\) cm.
3. \(OC'=|-2|\times 3{,}5=7\) cm ; le rapport est négatif, donc \(C'\) est de l’autre côté de \(O\) par rapport à \(C\).

5 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : une translation conserve longueurs, angles et aires.
2. Faux : les aires sont multipliées par \(2^2=4\).
3. Vrai : une rotation conserve les angles (et les longueurs).
4. Vrai : les longueurs sont multipliées par \(|-3|=3\) ; le signe indique seulement le côté de l’image.

6 Agrandir une photo ★★★

Les longueurs sont multipliées par \(2{,}5\) : \(6\times 2{,}5=15\) cm et \(4\times 2{,}5=10\) cm.

Aire : \(15\times 10=150\text{ cm}^2\). On vérifie : l’aire initiale \(24\text{ cm}^2\) multipliée par \(2{,}5^2=6{,}25\) donne \(150\text{ cm}^2\).

L’agrandissement mesure 15 cm sur 10 cm et son aire est de \(150\text{ cm}^2\).

7 Symétries par rapport à des droites ★★★

1. On change le signe de l’abscisse : \(A'(-2\,;\,5)\).
2. On change le signe de l’ordonnée : \(B'(-3\,;\,1)\).
3. \(C\) est à \(4-1=3\) unités à droite de la droite ; son symétrique est à 3 unités à gauche : abscisse \(1-3=-2\). Donc \(C'(-2\,;\,4)\).

8 Quart de tour autour de l’origine ★★★

1. \(A'(-1\,;\,3)\) ; \(B'(-4\,;\,-2)\) ; \(C'(2\,;\,5)\).
2. \(OA^2=3^2+1^2=10\) et \(OA'^2=(-1)^2+3^2=10\), donc \(OA=OA'=\sqrt{10}\).
3. Un demi-tour correspond à la symétrie centrale de centre \(O\) : l’image de \(A\) est \((-3\,;\,-1)\).

9 Homothétie dans un repère ★★★

1. \(A'(3\,;\,6)\) et \(B'(-6\,;\,3)\).
2. \(A''(-2\,;\,-4)\) et \(B''(4\,;\,-2)\).
3. \(AB^2=(-2-1)^2+(1-2)^2=9+1=10\) ; \(A'B'^2=(-6-3)^2+(3-6)^2=81+9=90=9\times 10\). Donc \(A'B'=3\,AB\), ce qui est cohérent avec le rapport \(3\).

10 Retrouver le rapport ★★★

1. \(k=\dfrac{20}{5}=4\) (positif car même côté).
2. \(|k|=\dfrac{2}{6}=\dfrac13\) et les points sont de part et d’autre de \(O\) : \(k=-\dfrac13\).
3. \(k=\dfrac{3}{7{,}5}=0{,}4\) : c’est une réduction.

11 Réduire un rectangle ★★★

1. \(12\times 0{,}25=3\) cm et \(8\times 0{,}25=2\) cm.
2. Aire initiale : \(12\times 8=96\text{ cm}^2\) ; aire finale : \(3\times 2=6\text{ cm}^2\). Quotient : \(\dfrac{6}{96}=\dfrac1{16}\).
3. L’aire est multipliée par \(\dfrac1{16}=0{,}0625=0{,}25^2\) : c’est bien \(k^2\).

12 Triangles semblables ? ★★★

1. On classe les côtés : \(\dfrac86=\dfrac{12}{9}=\dfrac{16}{12}=\dfrac43\). Les longueurs sont proportionnelles : les triangles sont semblables, avec un rapport d’agrandissement de \(\dfrac43\).
2. \(\dfrac56\approx 0{,}83\), \(\dfrac79\approx 0{,}78\), \(\dfrac9{12}=0{,}75\) : les quotients sont différents, donc les triangles ne sont pas semblables.

13 La maquette d’avion ★★★

1. \(36\text{ m}=3\,600\text{ cm}\) et \(3\,600\times\dfrac1{72}=50\) cm. La maquette mesure 50 cm.
2. \(40\times 72=2\,880\) cm, soit \(28{,}8\) m. L’envergure réelle est de \(28{,}8\) m.

14 Une frise de triangles ★★★

1. Une translation parallèle à la base et de longueur égale à un côté du triangle.
2. Une symétrie centrale dont le centre est le milieu du côté commun aux triangles 1 et 2 (une symétrie axiale d’axe le côté commun convient aussi).
3. Une frise de \(n\) triangles mesure \(\dfrac{n+1}{2}\) côtés : \(\dfrac{12+1}{2}=6{,}5\) côtés, soit \(6{,}5\times 4=26\) cm.

15 Homothétie de rapport négatif ★★★

1. Les longueurs sont multipliées par \(|-1{,}5|=1{,}5\). Donc \(AB=\dfrac{21}{1{,}5}=14\) cm et \(BC=\dfrac{12}{1{,}5}=8\) cm.
2. L’aire est multipliée par \(k^2=2{,}25\) : \(\text{aire}(ABC)=\dfrac{135}{2{,}25}=60\text{ cm}^2\).
3. \(|k|>1\) : \(A'B'C'\) est plus grand. Comme \(k<0\), \(A'\) est sur la droite \((OA)\), de l’autre côté de \(O\), avec \(OA'=1{,}5\times OA\).

16 Retrouver k à partir des aires ★★★

1. \(k^2=\dfrac{100}{25}=4\), donc \(k=2\) ou \(k=-2\).
2. \(k^2=\dfrac{12}{48}=\dfrac14\), donc \(k=\dfrac12\) ou \(k=-\dfrac12\).
3. Le volume est multiplié par \(|k|^3\) : \(2\times 3^3=54\) L pour l’agrandissement ; \(2\times\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac14\) L, soit 250 mL, pour la réduction.

17 Deux pizzas semblables ★★★

1. \(k=\dfrac{30}{20}=1{,}5\).
2. \(k^2=1{,}5^2=2{,}25\). Contrôle avec les rayons : \(\pi\times 15^2=225\pi\) et \(\pi\times 10^2=100\pi\), quotient \(2{,}25\).
3. Prix proportionnel à l’aire : \(8\times 2{,}25=18\) €. La grande pizza est vendue 15 €, soit moins que 18 € : elle est la plus avantageuse.

18 Le carré qui tourne ★★★

1. La rotation envoie chaque sommet sur le suivant : \(A\to B\), \(B\to C\). Le segment \([AB]\) a pour image \([BC]\).
2. \(O\) est fixe, donc le triangle \(OAB\) a pour image le triangle \(OBC\). Par rotation, les quatre triangles \(OAB\), \(OBC\), \(OCD\), \(ODA\) sont superposables.
3. Aire du carré : \(8^2=64\text{ cm}^2\). Les quatre triangles ont la même aire (la rotation conserve les aires), donc \(\text{aire}(OAB)=\dfrac{64}{4}=16\text{ cm}^2\).

19 Une homothétie dans un triangle ★★★

1. \(M\) est sur \([AB]\) et \(N\) sur \([AC]\), avec \((MN)\parallel(BC)\) : \(AMN\) est l’image de \(ABC\) par l’homothétie de centre \(A\) et de rapport \(k=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3}{7{,}5}=0{,}4\).
2. \(MN=0{,}4\times BC=0{,}4\times 10=4\) cm.
3. Aire de \(AMN\) : \(30\times 0{,}4^2=30\times 0{,}16=4{,}8\text{ cm}^2\). Aire du trapèze : \(30-4{,}8=25{,}2\text{ cm}^2\).

20 Centre autre que l’origine ★★★

1. De \(\Omega\) à \(A\) : \((+1\,;\,+1)\), multiplié par 3 : \((3\,;\,3)\), d’où \(A'(5\,;\,4)\). De \(\Omega\) à \(B\) : \((-2\,;\,-2)\), multiplié par 3 : \((-6\,;\,-6)\), d’où \(B'(-4\,;\,-5)\).
2. Avec \(-2\) : pour \(A\), \((-2\,;\,-2)\), d’où \(A''(0\,;\,-1)\). Pour \(B\), \((4\,;\,4)\), d’où \(B''(6\,;\,5)\).
3. \(A''\) a pour coordonnées \((0\,;\,-1)\) : c’est le point \(B\). Les points \(A\), \(\Omega\) et \(B\) sont alignés et \(\Omega B=2\,\Omega A\) avec \(\Omega\) entre \(A\) et \(B\), ce qui correspond bien au rapport \(-2\).

21 La hauteur de l’arbre ★★★

La personne, l’arbre et leurs ombres forment deux triangles rectangles (le sol est horizontal, la personne et l’arbre verticaux). Les rayons du soleil étant parallèles, ils ont les mêmes angles : ils sont semblables.

Le rapport d’agrandissement est \(k=\dfrac{10}{2{,}4}\). La hauteur de l’arbre vaut \(1{,}8\times\dfrac{10}{2{,}4}=7{,}5\) m.

L’arbre mesure 7,5 m.

22 Quels polygones pavent le plan ? ★★★

1. Triangle : \(\dfrac{180\times 1}{3}=60^\circ\) ; carré : \(90^\circ\) ; pentagone : \(\dfrac{180\times 3}{5}=108^\circ\) ; hexagone : \(\dfrac{180\times 4}{6}=120^\circ\) ; octogone : \(\dfrac{180\times 6}{8}=135^\circ\).
2. \(\dfrac{360}{60}=6\), \(\dfrac{360}{90}=4\) et \(\dfrac{360}{120}=3\) sont entiers : triangle, carré et hexagone conviennent. \(\dfrac{360}{108}\approx 3{,}33\) et \(\dfrac{360}{135}\approx 2{,}67\) ne sont pas entiers : le pentagone et l’octogone ne conviennent pas seuls.
3. Autour d’un sommet : \(135^\circ+135^\circ+90^\circ=360^\circ\), sans trou ni chevauchement : le pavage est possible.