Intégrales généralisées et à paramètre : exercices de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Une intégrale de Riemann ★★★

Montre que \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^3}\) converge et calcule sa valeur.

2 Une racine à l’origine ★★★

Montre que \(\displaystyle\int_0^1\frac{dt}{\sqrt t}\) converge et calcule-la.

3 Exponentielle décroissante ★★★

Calcule \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-5t}\,dt\).

4 Trois intégrales de Riemann ★★★

Étudie la convergence de \(A=\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^{3/2}}\), \(B=\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dt}{\sqrt t}\) et \(C=\displaystyle\int_0^1\frac{dt}{t^{3/2}}\), et calcule \(A\) si elle converge.

5 Vrai ou faux ★★★

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ? Justifie.

1. Si \(f(t)\to0\) en \(+\infty\), alors \(\int_1^{+\infty}f\) converge.
2. Si \(f\) est continue et si \(\int_1^{+\infty}|f|\) converge, alors \(\int_1^{+\infty}f\) converge.

6 Valeurs de Gamma ★★★

Calcule \(\Gamma(5)\) et \(\Gamma\!\left(\tfrac72\right)\), sachant que \(\Gamma\!\left(\tfrac12\right)=\sqrt\pi\).

7 Deux intégrales avec exponentielle ★★★

Calcule \(\displaystyle\int_0^{+\infty}t\,e^{-t}dt\) et \(\displaystyle\int_0^{+\infty}t^3e^{-2t}dt\) à l’aide de la fonction Gamma.

8 Logarithme et intégration par parties ★★★

Calcule \(\displaystyle\int_0^1\ln t\,dt\) puis \(\displaystyle\int_0^1t^3\ln t\,dt\) (on admet \(\varepsilon^k\ln\varepsilon\to0\) pour \(k>0\)).

9 Arctangente ★★★

Montre que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1+t^2}\) et \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{t^2+4}\) convergent et calcule-les.

10 Comparaison et équivalents ★★★

Étudie la nature de \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{2t+1}{t^3+t+5}dt\), puis de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{\sqrt t}dt\).

11 Intégrales de Bertrand ★★★

Étudie \(\displaystyle\int_2^{+\infty}\frac{dt}{t\ln t}\) et \(\displaystyle\int_2^{+\infty}\frac{dt}{t(\ln t)^2}\).

12 Semi-convergence ★★★

Montre que \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t^2}dt\) converge absolument, puis que \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt\) converge.

13 Convergence dominée simple ★★★

Soit \(I_n=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{1+t/n}\,dt\). Trouve la limite de \(I_n\).

14 Moments de logarithme ★★★

Montre que, pour tout entier \(n\ge0\), \(\displaystyle\int_0^1t^n\ln t\,dt=-\dfrac1{(n+1)^2}\).

15 Continuité d’une intégrale à paramètre ★★★

Soit \(F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-xt}}{1+t^2}dt\) pour \(x\ge0\). Montre que \(F\) est continue sur \([0\,;+\infty[\), calcule \(F(0)\) et trouve \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)\).

16 Dérivation sous le signe intégral ★★★

Pour \(x>0\), on pose \(F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-xt}\frac{\sin t}{t}dt\). Montre que \(F\) est dérivable, calcule \(F'(x)\) puis \(F(x)\) et \(F(1)\).

17 Gamma et intégrale gaussienne ★★★

Montre que \(\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)\) pour \(x>0\). En admettant \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du=\dfrac{\sqrt\pi}2\), montre que \(\Gamma\!\left(\tfrac12\right)=\sqrt\pi\), puis calcule \(\displaystyle\int_0^{+\infty}u^4e^{-u^2}du\).

18 Une somme de Basel par intégrale ★★★

Montre que \(\displaystyle\int_0^1\frac{\ln t}{1-t}dt=-\frac{\pi^2}6\), en admettant \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6\).

19 Un contre-exemple de domination ★★★

On pose \(f_n(t)=n\,e^{-nt}\) sur \([0\,;+\infty[\). Calcule \(\int_0^{+\infty}f_n\) et \(\lim f_n(t)\) pour \(t>0\). Que peut-on dire ? Montre qu’aucune fonction intégrable \(\varphi\) ne domine tous les \(f_n\).

20 Convexité de Gamma ★★★

Admettons que \(\Gamma\) est de classe \(C^2\) sur \(]0\,;+\infty[\) avec \(\Gamma''(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}(\ln t)^2t^{x-1}e^{-t}dt\). Montre que \(\Gamma\) est strictement convexe, qu’elle admet un unique minimum sur \(]0\,;+\infty[\) atteint en un point \(x_0\in]1\,;2[\), et que \(\Gamma(x_0)<1\).