Intégrales généralisées et à paramètre : corrigé du contrôle de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Calculs d’intégrales généralisées / 4 pts

a) \(\displaystyle\left[-\dfrac1{3t^3}\right]_1^X\to\dfrac13\) : converge, vaut \(\dfrac13\). (1 pt)

b) \(\alpha=\tfrac23<1\) : \(\displaystyle\left[3t^{1/3}\right]_0^1=3\). (1 pt)

c) \(u=3t\) : \(\dfrac{\Gamma(2)}{9}=\dfrac19\). (1 pt)

d) \(\int_1^X\dfrac{dt}t=\ln X\to+\infty\) : diverge. (1 pt)

2 Nature par comparaison / 4 pts

a) Positive, équivalente à \(\dfrac3{t^3}\) en \(+\infty\), intégrable (\(\alpha=3>1\)) : converge. (1,5 pt)

b) Pour \(t\in]0\,;1]\), \(0\le\dfrac{e^t}{\sqrt t}\le\dfrac e{\sqrt t}\), et \(\int_0^1t^{-1/2}dt\) converge : converge. (1,5 pt)

c) Positive, équivalente à \(\dfrac1t\) en \(+\infty\), non intégrable : diverge. (1 pt)

3 Convergence absolue et par parties / 3 pts

a) \(\left|\dfrac{\cos2t}{t^2}\right|\le\dfrac1{t^2}\), intégrable en \(+\infty\). (1 pt)

b) Par parties, \(\displaystyle\int_1^X\dfrac{\cos2t}tdt=\left[\dfrac{\sin2t}{2t}\right]_1^X+\int_1^X\dfrac{\sin2t}{2t^2}dt\). (1 pt) Le crochet a une limite (\(\dfrac{\sin 2X}{2X}\to0\)) et la dernière intégrale converge absolument car \(\left|\dfrac{\sin2t}{2t^2}\right|\le\dfrac1{2t^2}\). (1 pt)

4 Convergence dominée / 4 pts

a) \(e^{-t/n}\to1\), donc \(g_n(t)\to0\). (1 pt)

b) \(0\le g_n(t)\le e^{-t}\), intégrable. (1 pt)

c) Par convergence dominée, \(J_n\to\displaystyle\int_0^{+\infty}0\,dt=0\). (1 pt)

d) \(J_n=1-\dfrac1{1+1/n}=1-\dfrac n{n+1}=\dfrac1{n+1}\to0\). (1 pt)

5 Intégrale à paramètre / 5 pts

a) \(|e^{-xt}\cos t|\le e^{-xt}\), intégrable pour \(x>0\). (1 pt)

b) Sur \([a\,;+\infty[\) avec \(a>0\), \(|e^{-xt}\cos t|\le e^{-at}\) intégrable ; continuité en \(x\) évidente : \(F\) est continue. (1 pt)

c) \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-(x-i)t}dt=\dfrac1{x-i}=\dfrac{x+i}{x^2+1}\), dont la partie réelle donne \(F(x)=\dfrac x{1+x^2}\). (1,5 pt)

d) \(\left|\dfrac{\partial}{\partial x}\right|=|t e^{-xt}\cos t|\le te^{-at}\) pour \(x\ge a\), intégrable : \(F\) est \(C^1\) et \(F'(x)=-\displaystyle\int_0^{+\infty}te^{-xt}\cos t\,dt\). Or \(F'(x)=\dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\), nul en \(x=1\) : \(\displaystyle\int_0^{+\infty}te^{-t}\cos t\,dt=0\). (1,5 pt)