Calcul différentiel à plusieurs variables : corrigé du contrôle de maths Licence L2 à télécharger en PDF

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Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.

Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice autorisée seulement quand l’énoncé le précise.

Sommaire

\(f_x = 3x^2y - 2y^2\) et \(f_y = x^3 - 4xy + 4\). (1 pt)
\(f_{xx} = 6xy\), \(f_{xy} = \dfrac{\partial}{\partial y}(f_x) = 3x^2 - 4y\), \(f_{yx} = \dfrac{\partial}{\partial x}(f_y) = 3x^2 - 4y\), \(f_{yy} = -4x\). Les dérivées croisées sont égales, car \(f\) est polynomiale donc de classe \(C^2\). (2 pts)
En \((1,2)\) : \(f_{xx} = 12\), \(f_{xy} = 3 - 8 = -5\), \(f_{yy} = -4\), donc \(H_f(1,2) = \begin{pmatrix} 12 & -5 \\ -5 & -4\end{pmatrix}\). (1 pt)

\(f_x = 2x - y\), \(f_y = -x\), \(\gamma'(t) = (e^t, 1)\). Donc \(h'(t) = (2e^t - t)e^t - e^t = 2e^{2t} - te^t - e^t\). (2 pts)
\(h(t) = e^{2t} - te^t\), donc \(h'(t) = 2e^{2t} - e^t - te^t\), identique. En \(t = 0\) : \(h'(0) = 2 - 1 - 0 = 1\). (2 pts)

\(\nabla f = (3x^2 - 3,\ 6y^2 - 6)\). (1 pt)
\(\nabla f = 0\) équivaut à \(x = \pm 1\) et \(y = \pm 1\) : quatre points \((1,1)\), \((1,-1)\), \((-1,1)\), \((-1,-1)\). (1 pt)
\(H_f = \begin{pmatrix} 6x & 0 \\ 0 & 12y\end{pmatrix}\), \(\Delta = 72xy\). \((1,1)\) : \(\Delta = 72 > 0\), \(f_{xx} = 6 > 0\), minimum local de valeur \(-6\). \((-1,-1)\) : \(\Delta = 72 > 0\), \(f_{xx} = -6 < 0\), maximum local de valeur \(6\). \((1,-1)\) et \((-1,1)\) : \(\Delta = -72 < 0\), points selles. (3 pts)

\(J_F = \begin{pmatrix} 3x^2 & 1 \\ 1 & 3y^2\end{pmatrix}\), \(\det J_F = 9x^2y^2 - 1\). (1 pt)
En \((1,0)\) : \(\det J_F = -1 \neq 0\) et \(F\) est de classe \(C^1\) : inversion locale. (1 pt)
\(F(1,0) = (1, 1)\) et \(J_F(1,0) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\) de déterminant \(-1\), d’inverse \(\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -3\end{pmatrix}\). Donc \(J_{F^{-1}}(1,1) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -3\end{pmatrix}\). (2 pts)

\(4 + 2 + 1 = 7\) : \(A\) est sur la courbe. Avec \(F = x^2 + xy + y^2 - 7\), \(F_y = x + 2y = 4 \neq 0\) en \(A\). (1 pt)
\(F_x = 2x + y = 5\), donc \(\varphi'(2) = -\dfrac54\). Tangente : \(y - 1 = -\dfrac54(x - 2)\), soit \(y = -\dfrac54 x + \dfrac72\). (2 pts)

Entraîne-toi : défi express de Licence L2