Calcul différentiel : corrigé du contrôle de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Dérivées partielles et gradient / 3 pts

\(\partial_xf=e^{2y}\) (1 pt), \(\partial_yf=2xe^{2y}+2y\) (1 pt).

\(\nabla f(3,0)=(1,6)\) et \(df_{(3,0)}(h_1,h_2)=h_1+6h_2\) (1 pt).

2 Règle de la chaîne / 3 pts

\(\nabla f=(2x+3y,\ 3x)\) et \(\gamma'(t)=(2t,\cos t)\) (1 pt).

\((f\circ\gamma)'(t)=(2t^2+3\sin t)\,2t+3t^2\cos t=4t^3+6t\sin t+3t^2\cos t\) (1 pt).

Direct : \(f(\gamma(t))=t^4+3t^2\sin t\), de dérivée \(4t^3+6t\sin t+3t^2\cos t\) (1 pt).

3 Différentiabilité / 4 pts

1. \(|f(x,y)|\le|y|\to0\) car \(x^2\le x^2+y^2\) (1 pt).
2. \(f(t,0)=0\) et \(f(0,t)=0\), donc les deux dérivées partielles valent \(0\) (1 pt).
3. Si \(f\) était différentiable, \(D_vf(0,0)\) serait nulle pour tout \(v\) (1 pt). Or \(f(t,t)=\tfrac t2\) donne \(D_{(1,1)}f(0,0)=\tfrac12\neq0\) : \(f\) n’est pas différentiable (1 pt).

4 Extrema locaux / 4 pts

\(\nabla f=(2x-2,\ 3y^2-3)\) s’annule pour \(x=1\) et \(y=\pm1\) : points \((1,1)\) et \((1,-1)\) (1,5 pt).

\(H_f=\mathrm{diag}(2,6y)\) (0,5 pt). En \((1,1)\) : \(\mathrm{diag}(2,6)\), minimum local, valeur \(1-3+1-2=-3\) (1 pt). En \((1,-1)\) : \(\mathrm{diag}(2,-6)\), point selle (1 pt).

5 Optimisation sous contrainte / 3 pts

On minimise \(f=x^2+y^2\) sous \(g=2x+y-5=0\), \(\nabla g=(2,1)\neq0\) (0,5 pt).

\((2x,2y)=\lambda(2,1)\) donne \(x=\lambda\), \(y=\tfrac\lambda2\) (1 pt). La contrainte : \(2\lambda+\tfrac\lambda2=5\), \(\lambda=2\), point \((2,1)\) (1 pt).

\(f(2,1)=5\), distance minimale \(\sqrt5\) (0,5 pt).

6 Équation aux dérivées partielles / 3 pts

1. \(\partial_xu=y\varphi'(xy)\) et \(\partial_yu=x\varphi'(xy)\) (1 pt). Donc \(x\cdot y\varphi'-y\cdot x\varphi'=0\) (1 pt).
2. \(u(x,1)=\varphi(x)=x^3\), donc \(u(x,y)=(xy)^3=x^3y^3\) (1 pt).