Théorème de Thalès : corrigé du contrôle de maths 4ème à télécharger en PDF

1 Thalès dans un triangle / 4 pts

\((MN) \parallel (BC)\), donc d’après le théorème de Thalès \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\), soit \(\dfrac{6}{8} = \dfrac{4{,}5}{AC} = \dfrac{MN}{10}\) (1 pt).

\(AC = \dfrac{4{,}5 \times 8}{6} = 6\) cm (1,5 pt).

\(MN = \dfrac{6 \times 10}{8} = 7{,}5\) cm (1,5 pt).

2 Un papillon / 4 pts

\((AB) \parallel (DE)\), donc d’après le théorème de Thalès \(\dfrac{OD}{OA} = \dfrac{OE}{OB} = \dfrac{DE}{AB}\), soit \(\dfrac{10}{4} = \dfrac{OE}{6} = \dfrac{DE}{5}\) (1 pt).

Le rapport vaut \(2{,}5\) : \(OE = 2{,}5 \times 6 = 15\) cm (1,5 pt) et \(DE = 2{,}5 \times 5 = 12{,}5\) cm (1,5 pt).

3 Parallèles ou non ? / 4 pts

1. \(\dfrac{KP}{KL} = \dfrac{4{,}5}{6} = 0{,}75\) et \(\dfrac{KQ}{KM} = \dfrac{6{,}9}{9{,}2} = 0{,}75\) (1 pt). Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre : d’après la réciproque du théorème de Thalès, \((PQ) \parallel (LM)\) (1 pt).
2. \(\dfrac{KP}{KL} = \dfrac{3{,}5}{5} = 0{,}7\) et \(\dfrac{KQ}{KM} = \dfrac{4{,}2}{6{,}5} \approx 0{,}646\) (1 pt). Les rapports sont différents : les droites \((PQ)\) et \((LM)\) ne sont pas parallèles (1 pt).

4 Agrandissement / 3 pts

1. \(4 \times 2{,}5 = 10\) et \(6 \times 2{,}5 = 15\) : le nouveau rectangle mesure \(10\) cm sur \(15\) cm (1 pt).
2. Aire initiale : \(4 \times 6 = 24\) cm² (1 pt). Nouvelle aire : \(10 \times 15 = 150\) cm², soit \(24 \times 2{,}5^2 = 24 \times 6{,}25\) (1 pt).

5 Droite des milieux / 3 pts

1. \(I\) et \(J\) sont les milieux de \([AB]\) et \([AC]\), donc d’après le théorème de la droite des milieux, \((IJ) \parallel (BC)\) (1 pt) et \(IJ = \dfrac{15{,}4}{2} = 7{,}7\) cm (1 pt).
2. \(AI = 4{,}5\) cm, \(AJ = 5{,}8\) cm, donc le périmètre vaut \(4{,}5 + 5{,}8 + 7{,}7 = 18\) cm (1 pt).

6 Hauteur d’un arbre / 2 pts

Les rayons du soleil sont parallèles, donc d’après le théorème de Thalès \(\dfrac{h}{2} = \dfrac{6{,}4}{1{,}6}\) (1 pt).

\(h = \dfrac{2 \times 6{,}4}{1{,}6} = 8\) m (1 pt).