Théorème de Thalès : exercices corrigés de maths 4ème à télécharger en PDF

1 Repérer la configuration ★★★

1. Ce sont les triangles \(AMN\) et \(ABC\).
2. Les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles, donc d’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\).

2 Écrire les rapports ★★★

Le sommet commun est \(E\). Les droites \((PQ)\) et \((FG)\) sont parallèles, donc d’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{EP}{EF} = \dfrac{EQ}{EG} = \dfrac{PQ}{FG}\).

3 Le produit en croix ★★★

\(x = \dfrac{12 \times 3}{4} = 9\). \(x = \dfrac{5 \times 14}{10} = 7\). \(x = \dfrac{2{,}5 \times 18}{10} = 4{,}5\).

4 Une photo réduite ★★★

Les longueurs sont multipliées par \(0{,}6\) : \(20 \times 0{,}6 = 12\) et \(15 \times 0{,}6 = 9\). La photo réduite mesure \(12\) cm sur \(9\) cm.

5 Un premier calcul ★★★

\((MN) \parallel (BC)\), donc d’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}\), soit \(\dfrac{2}{5} = \dfrac{MN}{10}\).

\(MN = \dfrac{2 \times 10}{5} = 4\) cm.

6 Les milieux ★★★

D’après le théorème de la droite des milieux, \(IJ = \dfrac{BC}{2}\).

1. \(IJ = \dfrac{18}{2} = 9\) cm.
2. \(BC = 2 \times IJ = 2 \times 7 = 14\) cm.

7 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : c’est l’égalité du théorème de Thalès, chaque rapport comparant un côté de \(AMN\) à son correspondant dans \(ABC\).
2. Faux : le dénominateur doit être \(AC\), pas \(NC\). Par exemple, avec \(AM = 3\), \(AB = 6\), \(AN = 4\) et \(AC = 8\), on a \(NC = 4\) : \(\dfrac{AM}{AB} = 0{,}5\) mais \(\dfrac{AN}{NC} = 1\).

8 Deux longueurs à trouver ★★★

\((MN) \parallel (BC)\), donc d’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\), soit \(\dfrac{4{,}5}{6} = \dfrac{6{,}3}{AC} = \dfrac{MN}{8}\).

\(\dfrac{4{,}5}{6} = 0{,}75\), donc \(AC = \dfrac{6{,}3}{0{,}75} = 8{,}4\) cm et \(MN = 0{,}75 \times 8 = 6\) cm.

9 Calculer une longueur coupée ★★★

D’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\), soit \(\dfrac{5{,}6}{AB} = \dfrac{4{,}2}{10{,}5} = 0{,}4\).

\(AB = \dfrac{5{,}6}{0{,}4} = 14\) cm. Comme \(M\) est sur \([AB]\), \(MB = AB - AM = 14 - 5{,}6 = 8{,}4\) cm.

10 Un papillon ★★★

D’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\), soit \(\dfrac{7{,}5}{3} = \dfrac{AN}{4} = \dfrac{MN}{5{,}2}\). Le rapport vaut \(\dfrac{7{,}5}{3} = 2{,}5\).

\(AN = 2{,}5 \times 4 = 10\) cm et \(MN = 2{,}5 \times 5{,}2 = 13\) cm.

11 Un agrandissement ★★★

1. \(6 \times 1{,}5 = 9\), \(8 \times 1{,}5 = 12\), \(10 \times 1{,}5 = 15\) : les côtés mesurent \(9\), \(12\) et \(15\) cm.
2. \(9 + 12 + 15 = 36\) cm.
3. Aire de départ : \(\dfrac{6 \times 8}{2} = 24\) cm². Nouvelle aire : \(\dfrac{9 \times 12}{2} = 54\) cm². Or \(54 = 24 \times 2{,}25 = 24 \times 1{,}5^2\) : l’aire est multipliée par \(k^2\).

12 Parallèles : oui ★★★

D’une part \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3{,}6}{9} = 0{,}4\). D’autre part \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{2{,}8}{7} = 0{,}4\).

Les rapports sont égaux et \(M\), \(N\) sont placés dans le même ordre que \(B\), \(C\) par rapport à \(A\) : d’après la réciproque du théorème de Thalès, \((MN) \parallel (BC)\).

13 Parallèles : non ★★★

D’une part \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4\). D’autre part \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375\).

Comme \(0{,}4 \neq 0{,}375\), les rapports ne sont pas égaux : les droites \((MN)\) et \((BC)\) ne sont pas parallèles (si elles l’étaient, le théorème de Thalès donnerait l’égalité).

14 Les trois milieux ★★★

D’après le théorème de la droite des milieux : \(IJ = \dfrac{BC}{2} = 8\) cm, \(IK = \dfrac{AC}{2} = 7\) cm et \(JK = \dfrac{AB}{2} = 5\) cm.

Périmètre de \(IJK\) : \(8 + 7 + 5 = 20\) cm. Celui de \(ABC\) vaut \(10 + 14 + 16 = 40\) cm : le périmètre de \(IJK\) est la moitié de celui de \(ABC\).

15 L’arbre et son ombre ★★★

L’arbre, son ombre et un rayon du soleil forment un triangle ; le bâton, son ombre et un rayon en forment un autre. Les rayons sont parallèles et les deux objets sont verticaux : d’après le théorème de Thalès, \(\dfrac{h}{1{,}8} = \dfrac{10}{2{,}4}\).

\(h = \dfrac{1{,}8 \times 10}{2{,}4} = 7{,}5\) m. L’arbre mesure \(7{,}5\) m de haut.

16 La poutre du toit ★★★

\((MN) \parallel (BC)\), donc d’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}\), soit \(\dfrac{3{,}6}{5{,}4} = \dfrac{MN}{7{,}5}\).

\(MN = \dfrac{3{,}6 \times 7{,}5}{5{,}4} = 5\) m. Et \(MB = AB - AM = 5{,}4 - 3{,}6 = 1{,}8\) m.

17 L’ombre sur le mur ★★★

Les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles, donc d’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}\), soit \(\dfrac{30}{90} = \dfrac{12}{BC}\).

\(BC = \dfrac{12 \times 90}{30} = 36\) cm. L’ombre mesure \(36\) cm de haut : la figurine est agrandie avec le coefficient \(3\).

18 Une équation avec x ★★★

On a \(AB = x + 3\) et \(AC = 4 + 2 = 6\). D’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\), soit \(\dfrac{x}{x + 3} = \dfrac{4}{6}\).

Produit en croix : \(6x = 4(x + 3) = 4x + 12\), donc \(2x = 12\) et \(x = 6\).

Vérification : \(AB = 9\) cm et \(\dfrac{6}{9} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\). Donc \(AM = 6\) cm.

19 La maquette d’un voilier ★★★

1. Les longueurs sont multipliées par \(\dfrac{1}{25} = 0{,}04\) : \(12{,}5 \times 0{,}04 = 0{,}5\) m, soit \(50\) cm.
2. Les aires sont multipliées par \(k^2 = \left(\dfrac{1}{25}\right)^2 = \dfrac{1}{625}\). Or \(20\) m² \(= 200\,000\) cm², donc l’aire de la maquette est \(\dfrac{200\,000}{625} = 320\) cm².

20 Une démonstration ★★★

1. \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \((IJ) \parallel (BC)\) : d’après la réciproque du théorème de la droite des milieux, \(J\) est le milieu de \([AC]\). Donc \(AJ = \dfrac{11}{2} = 5{,}5\) cm.
2. Avec Thalès, \(\dfrac{AI}{AB} = \dfrac{IJ}{BC} = \dfrac{1}{2}\), donc \(IJ = \dfrac{9{,}4}{2} = 4{,}7\) cm.