Suites numériques et récurrence : contrôle de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Suites arithmétiques et géométriques / 3 pts

(a) La suite \((u_n)\) est arithmétique de premier terme \(u_0 = -5\) et de raison \(7\). Calcule \(u_{12}\) puis \(u_0 + u_1 + \dots + u_{12}\).

(b) La suite \((v_n)\) est géométrique de premier terme \(v_0 = 64\) et de raison \(\dfrac{1}{2}\). Calcule \(v_6\).

2 Une récurrence / 3 pts

On pose \(u_0 = 2\) et, pour tout entier \(n\), \(u_{n+1} = u_n + 2n + 3\). Démontre par récurrence que \(u_n = (n+1)^2 + 1\).

3 Calculs de limites / 4 pts

Détermine les limites suivantes en justifiant : (a) \(u_n = \dfrac{5n^2 - 2n}{n^2 + 4}\) ; (b) \(v_n = 3^n - 2^n\).

4 Théorème des gendarmes / 3 pts

Soit \(u_n = 4 + \dfrac{(-1)^n}{n+1}\). Démontre que \((u_n)\) converge et donne sa limite.

5 Une suite décroissante / 5 pts

On pose \(u_0 = 10\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}\).

1. Démontre par récurrence que \(u_n \geq 3\) pour tout \(n\).
2. Démontre que \((u_n)\) est décroissante. Indice : \(u_n + 6 - u_n^2 = (3 - u_n)(u_n + 2)\).
3. Justifie que \((u_n)\) converge et calcule sa limite.

6 Algorithme de seuil / 2 pts

Un étang compte \(2000\) poissons et sa population baisse de \(8\ \%\) chaque année. On exécute :

v = 2000
n = 0
while v >= 1000 :
    v = 0.92 * v
    n = n + 1

Que représente la valeur finale de \(n\) ? Détermine-la. (Calculatrice autorisée.)