Suites numériques et récurrence : corrigé du contrôle de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Suites arithmétiques et géométriques / 3 pts

(a) \(u_{12} = -5 + 12 \times 7 = 79\) (1 pt). Somme : \(13 \times \dfrac{-5 + 79}{2} = 13 \times 37 = 481\) (1 pt).

(b) \(v_6 = 64 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^6 = \dfrac{64}{64} = 1\) (1 pt).

2 Une récurrence / 3 pts

Initialisation : \((0+1)^2 + 1 = 2 = u_0\) (1 pt).

Hérédité : si \(u_n = (n+1)^2 + 1\), alors \(u_{n+1} = (n+1)^2 + 1 + 2n + 3 = n^2 + 4n + 5 = (n+2)^2 + 1\) (1 pt).

Conclusion : la formule est vraie pour tout \(n\) (1 pt).

3 Calculs de limites / 4 pts

(a) Forme indéterminée « \(\dfrac{\infty}{\infty}\) » ; on factorise : \(u_n = \dfrac{5 - \frac{2}{n}}{1 + \frac{4}{n^2}} \to 5\) (2 pts).

(b) Forme « \(\infty - \infty\) » ; on écrit \(v_n = 3^n\left(1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\right)\). Comme \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^n \to 0\), le facteur entre parenthèses tend vers \(1\), et \(3^n \to +\infty\) : \(\lim v_n = +\infty\) (2 pts).

4 Théorème des gendarmes / 3 pts

Pour tout \(n\), \(-\dfrac{1}{n+1} \leq \dfrac{(-1)^n}{n+1} \leq \dfrac{1}{n+1}\), donc \(4 - \dfrac{1}{n+1} \leq u_n \leq 4 + \dfrac{1}{n+1}\) (1 pt).

Les deux bornes tendent vers \(4\) (1 pt). D’après le théorème des gendarmes, \((u_n)\) converge vers \(4\) (1 pt).

5 Une suite décroissante / 5 pts

1. Initialisation : \(u_0 = 10 \geq 3\) (1 pt). Hérédité : si \(u_n \geq 3\), alors \(u_n + 6 \geq 9\) et, la racine carrée étant croissante, \(u_{n+1} \geq 3\) (1 pt).
2. \(u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n + 6} - u_n = \dfrac{u_n + 6 - u_n^2}{\sqrt{u_n + 6} + u_n} = \dfrac{(3 - u_n)(u_n + 2)}{\sqrt{u_n + 6} + u_n}\) (1 pt). Avec \(u_n \geq 3\), le numérateur est négatif ou nul et le dénominateur positif : \(u_{n+1} \leq u_n\) (1 pt).
3. La suite est décroissante et minorée par \(3\) : elle converge vers \(\ell\), avec \(\ell = \sqrt{\ell + 6}\), soit \(\ell^2 - \ell - 6 = 0\), donc \(\ell = 3\) ou \(\ell = -2\). Comme \(\ell \geq 3\), \(\ell = 3\) (1 pt).

6 Algorithme de seuil / 2 pts

La variable \(v\) représente la population après \(n\) années, avec \(v_n = 2000 \times 0{,}92^n\). La valeur finale de \(n\) est le nombre d’années à partir duquel la population passe sous \(1000\) poissons (1 pt).

\(v_8 \approx 1026{,}4\) et \(v_9 \approx 944{,}3\) : le programme affiche \(n = 9\) (1 pt).