Suites numériques et récurrence : exercices corrigés de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Reconnaître les suites ★★★

\(a_{n+1} - a_n = 3(n+1) - 5 - (3n - 5) = 3\) est constant : \((a_n)\) est arithmétique de raison \(3\).

\(b_{n+1} = 2 \times (-1)^{n+1} = -b_n\) : \((b_n)\) est géométrique de raison \(-1\) et de premier terme \(2\).

Pour \(c_n\) : \(c_1 - c_0 = 1\) et \(c_2 - c_1 = 3\) (différences non constantes), et \(\dfrac{c_2}{c_1} = 4\) alors que \(\dfrac{c_3}{c_2} = \dfrac{9}{4}\) (quotients non constants) : ni arithmétique, ni géométrique.

\(d_n = 7 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) : géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\) et de premier terme \(7\).

2 Terme général arithmétique ★★★

\(u_n = 7 + 4n\), donc \(u_{10} = 7 + 40 = 47\).

La somme comporte \(11\) termes : \(S = 11 \times \dfrac{u_0 + u_{10}}{2} = 11 \times \dfrac{7 + 47}{2} = 11 \times 27 = 297\).

3 Terme général géométrique ★★★

\(v_n = 5 \times 3^n\), donc \(v_4 = 5 \times 81 = 405\).

\(S = 5 \times \dfrac{1 - 3^5}{1 - 3} = 5 \times \dfrac{-242}{-2} = 5 \times 121 = 605\). Vérification : \(5 + 15 + 45 + 135 + 405 = 605\).

4 Variation par la différence ★★★

\(u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 + 3(n+1) + 1 - n^2 - 3n - 1 = 2n + 4 \gt 0\) : \((u_n)\) est croissante.

\(w_{n+1} - w_n = -3 \lt 0\) : \((w_n)\) est décroissante.

\(t_n \gt 0\) et \(\dfrac{t_{n+1}}{t_n} = \dfrac{1}{2} \lt 1\) : \((t_n)\) est décroissante.

5 Limites de référence ★★★

\(5 + \dfrac{1}{n} \to 5\) ; \(-3\sqrt{n} \to -\infty\) ; \(0{,}8^n \to 0\) car \(-1 \lt 0{,}8 \lt 1\) ; \(1{,}5^n \to +\infty\) car \(1{,}5 \gt 1\) ; \(2 + \dfrac{3}{n^2} \to 2\).

6 Une première récurrence ★★★

Initialisation. \(2 \times 0 + 3 = 3 = u_0\) : la formule est vraie au rang \(0\).

Hérédité. Supposons \(u_n = 2n + 3\). Alors \(u_{n+1} = u_n + 2 = 2n + 3 + 2 = 2(n+1) + 3\) : la formule est vraie au rang \(n+1\).

Conclusion. Pour tout entier \(n\), \(u_n = 2n + 3\).

7 Lire un algorithme de seuil ★★★

On calcule les valeurs de \(u\) : \(1, 3, 7, 15, 31, 63, 127\), obtenues pour \(n = 0, 1, \dots, 6\). La boucle s’arrête dès que \(u \geq 100\), c’est-à-dire pour \(u = 127\).

Valeurs finales : \(u = 127\) et \(n = 6\). Le nombre \(n\) est le plus petit rang pour lequel \(u_n \geq 100\) (car \(u_5 = 63 \lt 100\)).

8 Une suite définie par récurrence ★★★

Initialisation. \(2 \times 3^0 - 1 = 1 = u_0\).

Hérédité. Supposons \(u_n = 2 \times 3^n - 1\). Alors \(u_{n+1} = 3(2 \times 3^n - 1) + 2 = 2 \times 3^{n+1} - 3 + 2 = 2 \times 3^{n+1} - 1\).

Conclusion. La formule est vraie pour tout \(n\). Contrôle : \(u_1 = 5 = 2 \times 3 - 1\) et \(u_2 = 17 = 2 \times 9 - 1\).

9 Divisibilité ★★★

Initialisation. \(4^0 - 1 = 0 = 3 \times 0\), divisible par \(3\).

Hérédité. Supposons \(4^n - 1 = 3k\) avec \(k\) entier. Alors \(4^{n+1} - 1 = 4 \times 4^n - 1 = 4(3k + 1) - 1 = 12k + 3 = 3(4k + 1)\), divisible par \(3\).

Conclusion. \(4^n - 1\) est divisible par \(3\) pour tout entier \(n\).

10 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux : \(u_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}\) est croissante et converge vers \(1\).
2. Faux : \(u_n = (-1)^n\) est bornée entre \(-1\) et \(1\) mais n’a pas de limite.
3. Vrai : un passage à la limite conserve les inégalités larges. Si on avait \(\ell \lt 0\), l’intervalle \(]\ell - \varepsilon\,;\,\ell + \varepsilon[\) avec \(\varepsilon = -\ell/2\) ne contiendrait que des nombres négatifs, ce qui contredit \(u_n \geq 0\).
4. Vrai : c’est le théorème de convergence monotone.

11 Le programme d’entraînement ★★★

1. \((d_n)\) est arithmétique de raison \(1{,}5\) : \(d_n = 12 + 1{,}5(n - 1)\).
2. \(d_{10} = 12 + 13{,}5 = 25{,}5\). Total : \(10 \times \dfrac{12 + 25{,}5}{2} = 187{,}5\) km.
3. On veut \(12 + 1{,}5(n-1) \gt 30\), soit \(n - 1 \gt 12\), donc \(n \geq 14\). Vérification : \(d_{13} = 30\) (pas strictement plus) et \(d_{14} = 31{,}5\). Elle dépasse \(30\) km à la semaine \(14\).

12 Les panneaux solaires ★★★

1. Perdre \(2\ \%\) revient à multiplier par \(0{,}98\) : \(P_{n+1} = 0{,}98\,P_n\). La suite est géométrique de raison \(0{,}98\), donc \(P_n = 400 \times 0{,}98^n\).
2. \(P_{10} = 400 \times 0{,}98^{10} \approx 326{,}8\) W.
3. On cherche le plus petit \(n\) tel que \(400 \times 0{,}98^n \lt 300\), soit \(0{,}98^n \lt 0{,}75\). On trouve \(0{,}98^{14} \approx 0{,}7536\) (trop grand) et \(0{,}98^{15} \approx 0{,}7386\). La puissance passe sous \(300\) W après \(15\) ans.

13 Une limite de quotient ★★★

Le quotient est une forme indéterminée « \(\dfrac{\infty}{\infty}\) ». On factorise \(n^2\) :

\(u_n = \dfrac{n^2\left(4 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(2 + \frac{5}{n^2}\right)} = \dfrac{4 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{5}{n^2}}\).

Le numérateur tend vers \(4\), le dénominateur vers \(2\) : \(\lim u_n = 2\).

14 La quantité conjuguée ★★★

La différence est de la forme « \(\infty - \infty\) ». On écrit \(u_n = \dfrac{(\sqrt{n+4} - \sqrt{n})(\sqrt{n+4} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+4} + \sqrt{n}} = \dfrac{(n+4) - n}{\sqrt{n+4} + \sqrt{n}} = \dfrac{4}{\sqrt{n+4} + \sqrt{n}}\).

Le dénominateur tend vers \(+\infty\), donc \(\lim u_n = 0\).

15 Minorer pour tendre vers l’infini ★★★

Comme \((-1)^n \geq -1\), on a \(u_n \geq 2n - 5\) pour tout \(n\).

Or \(\lim (2n - 5) = +\infty\) : d’après le théorème de comparaison, \(\lim u_n = +\infty\).

16 Un gendarme ★★★

Comme \(-1 \leq \sin n \leq 1\), on a \(\dfrac{3n - 1}{n+1} \leq u_n \leq \dfrac{3n + 1}{n+1}\) (on divise par \(n + 1 \gt 0\)).

Or \(\dfrac{3n \pm 1}{n+1} = \dfrac{3 \pm \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} \to 3\). D’après le théorème des gendarmes, \((u_n)\) converge vers \(3\).

17 Variation d’une suite avec une puissance ★★★

\(u_1 = 2\), \(u_2 = 1\), \(u_3 = \dfrac{8}{9}\), \(u_4 = 1\), \(u_5 = \dfrac{32}{25}\).

Tous les termes sont strictement positifs et \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2^{n+1}}{(n+1)^2} \times \dfrac{n^2}{2^n} = \dfrac{2n^2}{(n+1)^2}\).

Ce quotient est supérieur à \(1\) si et seulement si \(2n^2 \gt (n+1)^2\), soit \(n^2 - 2n - 1 \gt 0\). Pour \(n \geq 3\) : \(n^2 - 2n - 1 = n(n - 2) - 1 \geq 3 - 1 = 2 \gt 0\). La suite est donc croissante à partir du rang \(3\) (et \(u_3 \lt u_2\) montre qu’elle ne l’est pas dès le rang \(2\)).

18 Une inégalité par récurrence ★★★

Initialisation. \(2^4 = 16 = 4^2\), donc \(2^4 \geq 4^2\).

Hérédité. Supposons \(2^n \geq n^2\) avec \(n \geq 4\). Alors \(2^{n+1} \geq 2n^2\). Or \(2n^2 - (n+1)^2 = n^2 - 2n - 1 = (n-1)^2 - 2 \geq 9 - 2 \gt 0\). Donc \(2^{n+1} \geq (n+1)^2\).

Conclusion. \(2^n \geq n^2\) pour tout \(n \geq 4\).

Déduction. Pour \(n \geq 4\), \(\dfrac{2^n}{n} \geq \dfrac{n^2}{n} = n\). Comme \(n \to +\infty\), le théorème de comparaison donne \(\dfrac{2^n}{n} \to +\infty\).

19 Une suite homographique ★★★

1. \(u_1 = \dfrac{3}{2}\) et \(u_2 = \dfrac{4 \times 1{,}5 + 3}{1{,}5 + 2} = \dfrac{9}{3{,}5} = \dfrac{18}{7}\). Ensuite \(4 - \dfrac{5}{x+2} = \dfrac{4x + 8 - 5}{x+2} = f(x)\). Quand \(x\) augmente, \(\dfrac{5}{x+2}\) diminue, donc \(f\) croît.
2. Initialisation : \(0 \leq u_0 = 0 \leq 3\). Hérédité : si \(0 \leq u_n \leq 3\), alors, \(f\) étant croissante, \(f(0) \leq u_{n+1} \leq f(3)\), soit \(\dfrac{3}{2} \leq u_{n+1} \leq 3\), et donc \(0 \leq u_{n+1} \leq 3\).
3. \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{4u_n + 3 - u_n^2 - 2u_n}{u_n + 2} = \dfrac{(3 - u_n)(u_n + 1)}{u_n + 2} \geq 0\) car \(0 \leq u_n \leq 3\). La suite est croissante et majorée par \(3\) : elle converge.
4. La limite \(\ell\) vérifie \(\ell = f(\ell)\), soit \(\ell^2 + 2\ell = 4\ell + 3\), c’est-à-dire \(\ell^2 - 2\ell - 3 = 0\), donc \(\ell = 3\) ou \(\ell = -1\). Comme \(u_n \geq 0\), \(\ell \geq 0\) : \(\ell = 3\).

20 Suite arithmético-géométrique ★★★

1. \(u_1 = 0{,}5 \times 10 + 3 = 8\) et \(u_2 = 0{,}5 \times 8 + 3 = 7\).
2. \(v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = 0{,}5\,u_n + 3 - 6 = 0{,}5\,u_n - 3 = 0{,}5\,(u_n - 6) = 0{,}5\,v_n\). La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}5\) et de premier terme \(v_0 = 4\).
3. \(v_n = 4 \times 0{,}5^n\), donc \(u_n = 6 + 4 \times 0{,}5^n\). Contrôle : \(u_2 = 6 + 1 = 7\).
4. Comme \(-1 \lt 0{,}5 \lt 1\), \(0{,}5^n \to 0\), donc \(\lim u_n = 6\).

21 Un seuil de précision ★★★

1. La boucle incrémente \(n\) tant que \(4 \times 0{,}5^n \geq 0{,}001\) ; elle s’arrête au premier \(n\) vérifiant \(4 \times 0{,}5^n \lt 0{,}001\). La valeur affichée par print(n) est donc le plus petit rang cherché.
2. \(4 \times 0{,}5^n = \dfrac{4}{2^n}\). Pour \(n = 11\) : \(\dfrac{4}{2048} \approx 0{,}00195 \geq 0{,}001\). Pour \(n = 12\) : \(\dfrac{4}{4096} \approx 0{,}00098 \lt 0{,}001\). Le rang cherché est \(n = 12\).

22 Le livret et les dépôts ★★★

1. \(w_{n+1} = 1{,}04\,u_n + 200 + 5000 = 1{,}04\,u_n + 5200 = 1{,}04\,(u_n + 5000) = 1{,}04\,w_n\). La suite \((w_n)\) est géométrique de raison \(1{,}04\) et de premier terme \(w_0 = 7500\).
2. \(w_n = 7500 \times 1{,}04^n\), donc \(u_n = 7500 \times 1{,}04^n - 5000\). Ainsi \(u_{10} = 7500 \times 1{,}04^{10} - 5000 \approx 6\,101{,}83\) €.
3. \(u_n \gt 10000 \iff 1{,}04^n \gt 2\). On trouve \(1{,}04^{17} \approx 1{,}948\) et \(1{,}04^{18} \approx 2{,}026\). Le capital dépasse \(10\,000\) € après \(18\) ans.