Calcul différentiel à plusieurs variables : exercices corrigés de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Dérivées partielles d’un polynôme ★★★

On fige \(y\) pour dériver en \(x\) : \(\dfrac{\partial f}{\partial x} = 6xy + 2\).

On fige \(x\) pour dériver en \(y\) : \(\dfrac{\partial f}{\partial y} = 3x^2 - 15y^2\).

2 Gradient en un point ★★★

\(\dfrac{\partial g}{\partial x} = e^{y}\) et \(\dfrac{\partial g}{\partial y} = x\,e^{y}\).

En \((2,0)\) : \(e^0 = 1\) et \(2e^0 = 2\), donc \(\nabla g(2,0) = (1, 2)\).

3 Vrai ou faux : partielles et continuité ★★★

L’affirmation est fausse.

On a \(f(t,0) = 0\) et \(f(0,t) = 0\) pour tout \(t\), donc les deux dérivées partielles existent en \((0,0)\) et valent \(0\).

Mais \(f(t,t) = \dfrac{t^2}{2t^2} = \dfrac12\) pour \(t \neq 0\), qui ne tend pas vers \(f(0,0) = 0\) : \(f\) n’est pas continue en \((0,0)\).

4 Une jacobienne 3 × 2 ★★★

Les trois composantes donnent trois lignes, les deux variables deux colonnes :

\[ J_F(x,y) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ y & x \\ 2x & 0 \end{pmatrix}. \]

5 Dérivée dans une direction ★★★

\(\nabla f = (2xy,\ x^2)\), donc \(\nabla f(1,2) = (4, 1)\).

Comme \(\|u\| = 1\), \(D_uf(a) = \langle \nabla f(a), u\rangle = 4 \cdot \dfrac35 + 1 \cdot \dfrac45 = \dfrac{16}{5}\).

6 Approximation affine ★★★

\(f(1,3) = 9\), \(\dfrac{\partial f}{\partial x} = y^2 = 9\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial y} = 2xy = 6\) en \((1,3)\).

Avec \(h = (0{,}02;\ -0{,}01)\) : \(df(h) = 9 \cdot 0{,}02 + 6 \cdot (-0{,}01) = 0{,}12\).

Donc \(f(1{,}02;\ 2{,}99) \approx 9{,}12\) (la valeur exacte est \(9{,}118902\)).

7 Vérifier Schwarz ★★★

\(f_x = 2xe^{3y}\), puis \(\dfrac{\partial}{\partial y}(f_x) = 6xe^{3y}\).

\(f_y = 3x^2e^{3y}\), puis \(\dfrac{\partial}{\partial x}(f_y) = 6xe^{3y}\).

Les deux dérivées croisées sont égales, comme l’assure le théorème de Schwarz (\(f\) est de classe \(C^2\)).

8 Chaîne le long d’un cercle ★★★

\(f_x = y\) et \(f_y = x + 2y\). Avec \(x = \cos t\), \(y = \sin t\), \(x' = -\sin t\), \(y' = \cos t\) :

\(h'(t) = \sin t\,(-\sin t) + (\cos t + 2\sin t)\cos t = \cos^2 t - \sin^2 t + 2\sin t\cos t = \cos 2t + \sin 2t\).

Direct : \(h(t) = \sin t\cos t + \sin^2 t = \tfrac12\sin 2t + \sin^2 t\), donc \(h'(t) = \cos 2t + \sin 2t\). Les deux résultats coïncident.

9 Composée de deux applications ★★★

\(F(1,2) = (3, 2)\). \(\nabla g(x,y) = (2x,\ 1)\), donc \(\nabla g(3,2) = (6, 1)\). \(J_F(u,v) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ v & u\end{pmatrix}\), donc \(J_F(1,2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\).

\(\nabla h(1,2) = (6, 1)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix} = (6 + 2,\ 6 + 1) = (8, 7)\).

Direct : \(h(u,v) = (u+v)^2 + uv\), \(h_u = 2(u+v) + v = 8\) et \(h_v = 2(u+v) + u = 7\) en \((1,2)\).

10 Coordonnées polaires ★★★

\(f_x = 2x\), \(f_y = 2y\). Alors \(\dfrac{\partial g}{\partial r} = 2x\cos\theta + 2y\sin\theta = 2r\cos^2\theta + 2r\sin^2\theta = 2r\).

\(\dfrac{\partial g}{\partial \theta} = 2x(-r\sin\theta) + 2y(r\cos\theta) = -2r^2\cos\theta\sin\theta + 2r^2\sin\theta\cos\theta = 0\).

On remarque que \(g(r,\theta) = r^2\) ne dépend pas de \(\theta\), ce qui est cohérent avec le calcul.

11 Un minimum global ★★★

\(\nabla f = (2x + y - 3,\ x + 2y)\). Le système \(2x + y = 3\), \(x + 2y = 0\) donne \(x = 2\), \(y = -1\).

\(H_f = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\) : \(\Delta = 4 - 1 = 3 > 0\) et \(f_{xx} = 2 > 0\), donc minimum local en \((2,-1)\), de valeur \(f(2,-1) = 4 - 2 + 1 - 6 = -3\).

Comme \(f\) est un polynôme du second degré dont la partie quadratique \(x^2 + xy + y^2 = \left(x + \tfrac y2\right)^2 + \tfrac34 y^2\) est définie positive, ce minimum est en fait global.

12 Un col et un minimum ★★★

\(\nabla f = (3x^2 - 12,\ 2y - 4)\) s’annule pour \(x = \pm 2\) et \(y = 2\) : points \((2,2)\) et \((-2,2)\).

\(H_f = \begin{pmatrix} 6x & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}\). En \((2,2)\) : \(\Delta = 24 > 0\), \(f_{xx} = 12 > 0\) : minimum local, \(f(2,2) = -20\).

En \((-2,2)\) : \(\Delta = -24 < 0\) : point selle.

13 Tangente à une courbe implicite ★★★

Posons \(F(x,y) = x^3 + xy + y^3 - 3\) : \(F(1,1) = 0\), \(F_y = x + 3y^2 = 4 \neq 0\) en \((1,1)\). Le théorème des fonctions implicites s’applique.

\(F_x = 3x^2 + y = 4\), donc \(\varphi'(1) = -\dfrac{4}{4} = -1\) et la tangente est \(y - 1 = -(x - 1)\), soit \(y = 2 - x\).

14 Inversibilité locale ★★★

\(J_F(x,y) = \begin{pmatrix} 1 & 2y \\ 2x & 1\end{pmatrix}\), \(\det J_F = 1 - 4xy\).

\(F\) est de classe \(C^1\) et localement inversible en tout point où \(xy \neq \tfrac14\).

Comme \(F(0,0) = (0,0)\) et \(J_F(0,0) = I_2\), on a \(J_{F^{-1}}(0,0) = I_2\).

15 Problème de la boîte ★★★

On pose \(z = 12 - x - y\) et \(V(x,y) = xy(12 - x - y)\). Alors \(V_x = y(12 - 2x - y)\) et \(V_y = x(12 - x - 2y)\).

Avec \(x, y > 0\) : \(2x + y = 12\) et \(x + 2y = 12\), donc \(x = y = 4\), \(z = 4\).

\(V_{xx} = -2y = -8\), \(V_{xy} = 12 - 2x - 2y = -4\), \(V_{yy} = -8\) : \(\Delta = 64 - 16 = 48 > 0\) et \(V_{xx} < 0\), maximum local.

Le domaine \(\{x, y > 0,\ x + y < 12\}\) est un triangle ouvert sur le bord duquel \(V\) tend vers \(0\), alors que \(V(4,4) = 64 > 0\) : l’unique point critique donne donc le maximum global.

Le volume maximal est \(64\ \text{dm}^3\), pour un cube d’arête \(4\) dm.

16 Partielles sans différentiabilité ★★★

Continuité : \(|f(x,y)| \le |x|\) car \(y^2 \le x^2 + y^2\), donc \(f(x,y) \to 0\).

Partielles : \(f(t,0) = f(0,t) = 0\), donc \(f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0\).

Si \(f\) était différentiable en \((0,0)\), sa différentielle serait nulle et on aurait \(f(h) = o(\|h\|)\). Or pour \(h = (t,t)\), \(t > 0\) : \(f(h) = \dfrac{t^3}{2t^2} = \dfrac t2\) et \(\|h\| = t\sqrt2\), le quotient vaut \(\dfrac{1}{2\sqrt2} \neq 0\). Contradiction : \(f\) n’est pas différentiable en \((0,0)\).

17 Contre-exemple à Schwarz ★★★

Pour \(y \neq 0\) : \(\dfrac{f(h,y) - f(0,y)}{h} = \dfrac{y(h^2 - y^2)}{h^2 + y^2} \to -y\) quand \(h \to 0\), donc \(f_x(0,y) = -y\). De même \(f_y(x,0) = x\).

Alors \(\dfrac{\partial}{\partial y}(f_x)(0,0) = -1\) et \(\dfrac{\partial}{\partial x}(f_y)(0,0) = 1\).

Les dérivées croisées diffèrent : \(f\) n’est pas de classe \(C^2\) en \((0,0)\), ce qui n’est pas contradictoire avec le théorème de Schwarz.

18 Deux minima globaux ★★★

\(\nabla f = (4x^3 - 4y,\ 4y^3 - 4x)\). On obtient \(y = x^3\) puis \(x^9 = x\), donc \(x \in \{0, 1, -1\}\) : points \((0,0)\), \((1,1)\), \((-1,-1)\).

\(H_f = \begin{pmatrix} 12x^2 & -4 \\ -4 & 12y^2\end{pmatrix}\). En \((0,0)\) : \(\Delta = -16 < 0\), point selle. En \((\pm1,\pm1)\) : \(\Delta = 144 - 16 = 128 > 0\) et \(f_{xx} = 12 > 0\) : minima locaux, \(f = 1 + 1 - 4 = -2\).

Comme \(f(x,y) \ge x^4 + y^4 - 2(x^2+y^2) \to +\infty\) à l’infini, le minimum est atteint en un point critique : le minimum global vaut \(-2\), atteint en \((1,1)\) et \((-1,-1)\).

19 Cas dégénéré ★★★

\(\nabla f = (2x,\ 3y^2)\) s’annule uniquement en \((0,0)\). \(H_f(0,0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\), de déterminant \(0\) : le critère ne conclut pas.

Étude directe : \(f(0,0) = 0\), \(f(0,y) = y^3\) est positive pour \(y > 0\) et négative pour \(y < 0\). Dans tout voisinage de l’origine, \(f\) prend des valeurs des deux signes : ce n’est ni un minimum ni un maximum local.

20 Exponentielle complexe vue comme application ★★★

\(J_F = \begin{pmatrix} e^x\cos y & -e^x\sin y \\ e^x\sin y & e^x\cos y\end{pmatrix}\), \(\det J_F = e^{2x}(\cos^2 y + \sin^2 y) = e^{2x} > 0\). Par inversion locale, \(F\) est un difféomorphisme local en tout point.

Mais \(F(x, y + 2\pi) = F(x,y)\) : deux points distincts ont la même image, \(F\) n’est pas injective. L’inversibilité locale ne donne donc pas l’inversibilité globale.

21 Dérivées d’ordre 2 d’une fonction implicite ★★★

Posons \(F(x,y) = y^3 + y - x\) : \(F_y = 3y^2 + 1 > 0\), donc \(\varphi\) existe, et \(\varphi' = -\dfrac{F_x}{F_y} = \dfrac{1}{3\varphi^2 + 1}\). En \(x = 2\) : \(\varphi'(2) = \dfrac14\).

En dérivant : \(\varphi'' = -\dfrac{6\varphi\,\varphi'}{(3\varphi^2+1)^2}\). En \(x = 2\) : \(\varphi''(2) = -\dfrac{6 \cdot \tfrac14}{16} = -\dfrac{3}{32}\).