Séries entières : contrôle de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Rayons de convergence / 4 pts

Durée : 45 min. Calculatrice non autorisée. Déterminer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes.

1. \(\displaystyle\sum_{n\geq0}\dfrac{n+1}{5^n}x^n\)
2. \(\displaystyle\sum_{n\geq0}\dfrac{n!}{(2n)!}x^n\)
3. \(\displaystyle\sum_{n\geq0}\dfrac{x^{2n}}{9^n}\)
4. \(\displaystyle\sum_{n\geq0}2^nx^{3n}\)

2 Somme d’une série entière / 4 pts

Pour \(|x|\lt1\), on considère \(S(x)=\sum_{n\geq0}(n+2)x^n\).

1. Écrire \(S(x)\) comme somme de deux séries connues.
2. En déduire \(S(x)\) sous forme d’une fraction rationnelle.
3. Calculer \(\sum_{n\geq0}\dfrac{n+2}{2^n}\).

3 Développement d’une fraction / 4 pts

Soit \(f(x)=\dfrac{1}{x^2-5x+6}\).

1. Décomposer \(f\) en éléments simples.
2. En déduire le développement en série entière de \(f\) et son rayon.
3. Donner \(a_0\) et \(a_1\) et vérifier \(a_0=f(0)\).

4 Équation différentielle / 4 pts

Résoudre \(y''+9y=0\) avec \(y(0)=2\) et \(y'(0)=3\) en cherchant \(y\) sous forme de série entière, puis reconnaître la solution.

5 Exponentielle complexe / 4 pts

1. Écrire sous forme algébrique \(e^{3+i\pi/4}\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(e^{z}=-2i\).
3. À l’aide des trois premiers termes de la série de \(\cos\) en \(x=1\), donner une valeur approchée de \(\cos1\) et majorer l’erreur.