Séries entières : corrigé du contrôle de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Rayons de convergence / 4 pts

1. \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n+2}{5(n+1)}\to\dfrac15\), donc \(R=5\). (1 pt)
2. \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+1)!}{(2n+2)!}\cdot\dfrac{(2n)!}{n!}=\dfrac{n+1}{(2n+2)(2n+1)}=\dfrac1{2(2n+1)}\to0\), donc \(R=+\infty\). (1 pt)
3. Avec \(t=x^2\) : \(\sum(t/9)^n\) converge si \(|t|\lt9\) soit \(|x|\lt3\) : \(R=3\). (1 pt)
4. Avec \(t=x^3\) : \(\sum(2t)^n\) converge si \(|t|\lt\frac12\), soit \(|x|\lt2^{-1/3}\) : \(R=2^{-1/3}=\dfrac1{\sqrt[3]2}\). (1 pt)

2 Somme d’une série entière / 4 pts

1. \(S(x)=\sum(n+1)x^n+\sum x^n\). (1 pt)
2. \(\sum(n+1)x^n=\dfrac1{(1-x)^2}\) et \(\sum x^n=\dfrac1{1-x}\), donc \(S(x)=\dfrac{1+(1-x)}{(1-x)^2}=\dfrac{2-x}{(1-x)^2}\). (2 pts)
3. Pour \(x=\dfrac12\) : \(S\left(\dfrac12\right)=\dfrac{3/2}{1/4}=6\). (1 pt)

3 Développement d’une fraction / 4 pts

1. \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) et \(f(x)=\dfrac1{x-3}-\dfrac1{x-2}\). (1 pt)
2. \(\dfrac1{x-3}=-\dfrac13\cdot\dfrac1{1-x/3}\) et \(-\dfrac1{x-2}=\dfrac12\cdot\dfrac1{1-x/2}\). Donc \(f(x)=\sum_{n\geq0}\left(\dfrac1{2^{n+1}}-\dfrac1{3^{n+1}}\right)x^n\) pour \(|x|\lt2\), et \(R=2\) (le pôle \(x=2\) est le plus proche de 0). (2 pts)
3. \(a_0=\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16=f(0)\) ; \(a_1=\dfrac14-\dfrac19=\dfrac5{36}\). (1 pt)

4 Équation différentielle / 4 pts

Avec \(y=\sum a_nx^n\) : \((n+2)(n+1)a_{n+2}=-9a_n\). (1 pt)

Conditions initiales : \(a_0=2\), \(a_1=3\). (0,5 pt)

Coefficients pairs : \(a_{2p}=\dfrac{2(-9)^p}{(2p)!}=2(-1)^p\dfrac{3^{2p}}{(2p)!}\) ; impairs : \(a_{2p+1}=\dfrac{3(-9)^p}{(2p+1)!}=(-1)^p\dfrac{3^{2p+1}}{(2p+1)!}\). (1 pt)

Rayon infini (quotient \(\to0\)) (0,5 pt), et \(y(x)=2\cos3x+\sin3x\). (1 pt)

5 Exponentielle complexe / 4 pts

1. \(e^{3+i\pi/4}=e^3\left(\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2\right)=\dfrac{\sqrt2\,e^3}2(1+i)\). (1 pt)
2. \(-2i=2e^{-i\pi/2}=e^{\ln2-i\pi/2}\), donc \(z=\ln2-\dfrac{i\pi}2+2ik\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\). (1 pt)
3. \(\cos1\approx1-\dfrac12+\dfrac1{24}=\dfrac{13}{24}\approx0{,}5417\). La série est alternée et à termes décroissants, l’erreur est majorée par le terme suivant \(\dfrac1{720}\approx0{,}0014\). (2 pts)