Espaces préhilbertiens et euclidiens : exercices corrigés de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Produit scalaire et norme dans R³ ★★★

\(\langle u,v\rangle = 2\times 4 + (-1)\times 5 + 3\times(-2) = 8 - 5 - 6 = -3\).

\(\|u\|^2 = 4 + 1 + 9 = 14\), donc \(\|u\| = \sqrt{14}\). \(\|v\|^2 = 16 + 25 + 4 = 45\), donc \(\|v\| = 3\sqrt5\).

2 Produit scalaire ou non ? ★★★

(a) Non : avec \(x = (0,1)\), la valeur en \((x,x)\) est \(-1 < 0\), la forme n’est pas positive.

(b) Oui : elle est bilinéaire et symétrique, et \(\varphi(x,x) = 2x_1^2 + 3x_2^2 \geqslant 0\) avec égalité seulement pour \(x = 0\).

(c) Non : elle n’est pas symétrique, car pour \(e_1 = (1,0)\) et \(e_2 = (0,1)\) on trouve \(\varphi(e_1,e_2) = 1\) mais \(\varphi(e_2,e_1) = 0\).

3 Vecteurs orthogonaux ★★★

\(\langle u,v\rangle = 3 - 2 - 1 = 0\) : orthogonaux. \(\langle u,w\rangle = 2 + 2 - 4 = 0\) : orthogonaux. \(\langle v,w\rangle = 6 - 1 + 4 = 9 \neq 0\) : non orthogonaux.

4 Un angle ★★★

\(\langle u,v\rangle = 1\) et \(\|u\| = \|v\| = \sqrt2\), donc \(\cos\theta = \dfrac{1}{2}\) et \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\).

5 Pythagore ★★★

Comme \(\langle u,v\rangle = 0\), \(\|u+v\|^2 = 9 + 16 = 25\) et \(\|u-v\|^2 = 9 - 0 + 16 = 25\). Donc \(\|u+v\| = \|u-v\| = 5\).

6 Matrices orthogonales 2×2 ★★★

\(A\) : colonnes \(\tfrac1{13}(5,12)\) et \(\tfrac1{13}(-12,5)\), de norme \(\tfrac{\sqrt{169}}{13} = 1\) et de produit scalaire \(\tfrac{-60+60}{169} = 0\) ; \(\det A = \tfrac{25+144}{169} = 1\) : c’est une rotation.

\(B\) : mêmes vérifications, \(\det B = \tfrac{-25-144}{169} = -1\) : c’est une réflexion.

\(C\) : la première colonne a pour norme au carré \(2 \neq 1\) : \(C\) n’est pas orthogonale (en revanche \(\tfrac1{\sqrt2}C\) l’est).

7 Un premier cas du théorème spectral ★★★

\(A(1,1) = (2,2) = 2\,(1,1)\) et \(A(1,-1) = (-2,2) = -2\,(1,-1)\). Ces deux vecteurs sont orthogonaux ; en les normalisant, on obtient \(Q = \dfrac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\) et \(D = \operatorname{diag}(2,-2)\), avec \(A = QDQ^{\top}\).

8 Cauchy-Schwarz pour trois réels ★★★

(a) Dans \(\mathbb{R}^3\), avec \(u = (1,1,1)\) et \(w = (a,b,c)\), Cauchy-Schwarz donne \(\langle u,w\rangle^2 \leqslant \|u\|^2\|w\|^2\), soit \((a+b+c)^2 \leqslant 3(a^2+b^2+c^2)\).

(b) \(36 \leqslant 3(a^2+b^2+c^2)\), donc \(a^2+b^2+c^2 \geqslant 12\). L’égalité a lieu si \(w\) est colinéaire à \(u\), donc \(a=b=c=2\).

9 Produit scalaire intégral ★★★

(a) \(\langle 1,X\rangle = \int_0^1 t\,dt = \tfrac12\) et \(\|X\|^2 = \int_0^1 t^2\,dt = \tfrac13\), donc \(\|X\| = \tfrac1{\sqrt3}\).

(b) \(u_1 = 1\) de norme \(1\). Puis \(u_2 = X - \langle X,1\rangle\cdot 1 = X - \tfrac12\), avec \(\|u_2\|^2 = \int_0^1 (t-\tfrac12)^2dt = \tfrac1{12}\). La base orthonormée est \(\big(1,\ \sqrt3\,(2X-1)\big)\).

10 Un plan de R³ ★★★

(a) \(F^{\perp} = \operatorname{Vect}(1,1,1)\). Les vecteurs \((1,-1,0)\) et \((1,1,-2)\) sont dans \(F\) et orthogonaux (\(1 - 1 + 0 = 0\)) : ils forment une base orthogonale de \(F\).

(b) \(p_{F^{\perp}}(x) = \tfrac{\langle x,(1,1,1)\rangle}{3}(1,1,1) = (1,1,1)\), et \(p_F(x) = x - p_{F^{\perp}}(x) = (2,-1,-1)\).

(c) La symétrie vaut \(s(x) = x - 2p_{F^{\perp}}(x) = (3,0,0) - 2(1,1,1) = (1,-2,-2)\), de norme \(3 = \|x\|\), comme il se doit.

11 Distance d’un point à une droite ★★★

\(\langle x,u\rangle = 2 + 2 - 2 = 2\) et \(\|u\|^2 = 9\), donc \(p_D(x) = \tfrac29 u = \left(\tfrac49,\tfrac29,\tfrac49\right)\).

\(d(x,D)^2 = \|x\|^2 - \|p_D(x)\|^2 = 6 - \tfrac{4}{9} = \tfrac{50}{9}\), donc \(d(x,D) = \tfrac{5\sqrt2}{3}\).

12 Gram-Schmidt dans le plan ★★★

\(e_1 = \tfrac{v_1}{\|v_1\|} = \left(\tfrac35,\tfrac45\right)\). Puis \(\langle v_2,e_1\rangle = \tfrac35\) et \(u_2 = v_2 - \tfrac35 e_1 = \left(\tfrac{16}{25},-\tfrac{12}{25}\right)\), de norme \(\tfrac{\sqrt{256+144}}{25} = \tfrac{20}{25} = \tfrac45\).

Donc \(e_2 = \left(\tfrac45,-\tfrac35\right)\), et \(\langle e_1,e_2\rangle = \tfrac{12}{25} - \tfrac{12}{25} = 0\).

13 Une matrice orthogonale conserve la norme ★★★

\(\|Qx\|^2 = (Qx)^{\top}(Qx) = x^{\top}Q^{\top}Qx = x^{\top}x = \|x\|^2\).

De \(Q^{\top}Q = I\), on tire \(\det(Q)^2 = \det(Q^{\top})\det(Q) = 1\), donc \(\det Q = \pm1\).

Si \(Qx = \lambda x\) avec \(x \neq 0\), alors \(\|x\| = \|Qx\| = |\lambda|\,\|x\|\), donc \(|\lambda| = 1\), c’est-à-dire \(\lambda = \pm1\).

14 Symétrie orthogonale du plan ★★★

Avec \(u = (1,2)\), \(\|u\|^2 = 5\) et \(p(x) = \tfrac{\langle x,u\rangle}{5}u\), la matrice de \(p\) est \(\dfrac15\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\).

La symétrie est \(s = 2p - I = \dfrac15\begin{pmatrix}-3&4\\4&3\end{pmatrix}\). Ses colonnes sont de norme \(\tfrac{\sqrt{25}}{5} = 1\), orthogonales (\(-12+12 = 0\)), et \(\det s = \tfrac{-9-16}{25} = -1\) : c’est une réflexion.

15 Produit scalaire sur les matrices ★★★

(a) \(\operatorname{tr}(A^{\top}B) = \sum a_{ij}b_{ij} = 1\times3 + 2\times0 + 0\times1 + (-1)\times2 = 1\), et \(\|A\|^2 = 1 + 4 + 0 + 1 = 6\).

(b) Soit \(S^{\top} = S\) et \(K^{\top} = -K\). Alors \(\operatorname{tr}(S^{\top}K) = \operatorname{tr}(SK) = \operatorname{tr}\big((SK)^{\top}\big) = \operatorname{tr}(K^{\top}S) = -\operatorname{tr}(KS) = -\operatorname{tr}(SK)\), donc \(\operatorname{tr}(SK) = 0\).

16 Théorème spectral et puissances ★★★

Trace \(7\), déterminant \(6\) : les valeurs propres sont \(1\) et \(6\). Pour \(6\) : \((A-6I)x = 0\) donne \((2,1)\). Pour \(1\) : \((A-I)x = 0\) donne \((1,-2)\). Ces vecteurs sont orthogonaux, de norme \(\sqrt5\).

Ainsi \(Q = \dfrac1{\sqrt5}\begin{pmatrix}2&1\\1&-2\end{pmatrix}\), \(D = \operatorname{diag}(6,1)\), \(A = QDQ^{\top}\).

Alors \(A^5 = Q D^5 Q^{\top} = 7776\,p_6 + 1\cdot p_1\) avec \(p_6 = \tfrac15\begin{pmatrix}4&2\\2&1\end{pmatrix}\) et \(p_1 = \tfrac15\begin{pmatrix}1&-2\\-2&4\end{pmatrix}\), d’où \[ A^5 = \begin{pmatrix}6221&3110\\3110&1556\end{pmatrix}. \]

17 Une matrice de la forme I + J ★★★

(a) \(A = I + J\) où \(J\) est la matrice de tous les \(1\). \(A(1,1,1) = (4,4,4)\) : valeur propre \(4\). Pour \(x\) dans le plan \(x_1+x_2+x_3 = 0\), \(Jx = 0\), donc \(Ax = x\) : valeur propre \(1\), double.

Base orthonormée : \(\tfrac1{\sqrt3}(1,1,1)\) pour \(4\), puis \(\tfrac1{\sqrt2}(1,-1,0)\) et \(\tfrac1{\sqrt6}(1,1,-2)\) pour \(1\) (orthogonaux entre eux et à \((1,1,1)\)).

(b) Comme \(J^2 = 3J\), on vérifie \((I+J)\big(I - \tfrac14 J\big) = I + J - \tfrac14J - \tfrac34J = I\). Donc \(A^{-1} = I - \tfrac14J = \dfrac14\begin{pmatrix}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}\).

18 Réduire une forme quadratique ★★★

La matrice symétrique associée est \(A = \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\), de valeurs propres \(1\) (vecteur \((1,-1)\)) et \(3\) (vecteur \((1,1)\)). Avec \(X = \tfrac{x-y}{\sqrt2}\) et \(Y = \tfrac{x+y}{\sqrt2}\), on obtient \(q = X^2 + 3Y^2\) : en effet \(\tfrac{(x-y)^2 + 3(x+y)^2}{2} = 2x^2 + 2xy + 2y^2\).

La courbe \(X^2 + 3Y^2 = 3\) est une ellipse de demi-axes \(\sqrt3\) (selon \((1,-1)\)) et \(1\) (selon \((1,1)\)).

19 Un projecteur non orthogonal ★★★

(a) \(M^2 = \begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix} = M\) : c’est un projecteur, d’image \(\operatorname{Vect}(1,0)\) et de noyau \(\operatorname{Vect}(1,-1)\).

(b) \(\langle(1,0),(1,-1)\rangle = 1 \neq 0\) : image et noyau ne sont pas orthogonaux, ce n’est pas une projection orthogonale (on remarque d’ailleurs que \(M\) n’est pas symétrique).

(c) La projection orthogonale sur \(\operatorname{Vect}(1,0)\) a pour matrice \(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\).

20 Polynômes orthogonaux de Legendre ★★★

(a) \(u_0 = 1\), \(\|u_0\|^2 = 2\). \(\langle X,1\rangle = 0\) donc \(u_1 = X\), \(\|u_1\|^2 = \tfrac23\). \(\langle X^2,1\rangle = \tfrac23\) et \(\langle X^2,X\rangle = 0\) donc \(u_2 = X^2 - \tfrac13\), avec \(\|u_2\|^2 = \tfrac25 - \tfrac49 + \tfrac29 = \tfrac{8}{45}\).

(b) \(\langle X^3,1\rangle = 0\), \(\langle X^3,X\rangle = \tfrac25\), \(\langle X^3,u_2\rangle = 0\) (intégrale d’une fonction impaire). Donc \(p(X^3) = \dfrac{2/5}{2/3}X = \tfrac35X\).

\(d^2 = \|X^3\|^2 - \|p(X^3)\|^2 = \tfrac27 - \tfrac9{25}\cdot\tfrac23 = \tfrac27 - \tfrac6{25} = \tfrac{8}{175}\), donc \(d = \sqrt{\tfrac{8}{175}}\).

21 Orthogonalité des sous-espaces propres ★★★

(a) Si \(Ax = \lambda x\), \(Ay = \mu y\), alors \(\lambda\langle x,y\rangle = \langle Ax,y\rangle = x^{\top}A^{\top}y = x^{\top}Ay = \mu\langle x,y\rangle\). Donc \((\lambda-\mu)\langle x,y\rangle = 0\), et \(\langle x,y\rangle = 0\) si \(\lambda \neq \mu\).

(b) Trace \(2\), déterminant \(-3\) : valeurs propres \(3\) et \(-1\). \(A(1,1) = (3,3)\) et \(A(1,-1) = (-1,1) = -(1,-1)\). Or \(\langle(1,1),(1,-1)\rangle = 0\), conformément à (a).