Réduction des endomorphismes : contrôle de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Valeurs propres et vecteurs propres / 4 pts

Soit \(Q = \begin{pmatrix}7&-2\\4&1\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_Q\) et factoriser. (2 points)
2. Déterminer les sous-espaces propres de \(Q\). (2 points)

2 Diagonalisation et puissances / 5 pts

On reprend la matrice \(Q\) de l’exercice 1.

1. Justifier que \(Q\) est diagonalisable et écrire \(Q = PDP^{-1}\). (2 points)
2. Calculer \(P^{-1}\). (1 point)
3. En déduire l’expression de \(Q^n\) pour \(n \in \mathbb{N}\), puis vérifier pour \(n = 1\). (2 points)

3 Une matrice qui ne se diagonalise pas / 3 pts

Soit \(H = \begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\1&0&5\end{pmatrix}\). Calculer \(\chi_H\), montrer que \(H\) n’est pas diagonalisable, et vérifier que \((x-2)^2(x-5)\) annule \(H\). Aucune calculatrice.

4 Cayley-Hamilton et inverse / 3 pts

Soit \(W = \begin{pmatrix}2&3\\1&4\end{pmatrix}\). Écrire l’égalité de Cayley-Hamilton pour \(W\) et en déduire \(W^{-1}\). (3 points)

5 Suite récurrente / 5 pts

Soit \((u_n)\) avec \(u_0 = 3\), \(u_1 = 6\) et \(u_{n+2} = 5u_{n+1} - 4u_n\).

1. Écrire la matrice compagnon et son polynôme caractéristique. (2 points)
2. Montrer qu’elle est diagonalisable. (1 point)
3. Déterminer \(u_n\), puis \(u_5\). (2 points)