Symétrie centrale et parallélogrammes : corrigé du contrôle de maths 4ème à télécharger en PDF

1 Symétrique d’un point et d’un segment / 3 pts

1. \(O\) est le milieu de \([MM']\), donc \(OM = 9{,}2 \div 2 = 4{,}6\) cm (1,5 pt).
2. La symétrie centrale conserve les longueurs : \(P'Q' = 5{,}8\) cm (1 pt).
3. \((P'Q') \parallel (PQ)\) (0,5 pt).

2 Propriétés d’un parallélogramme / 4 pts

1. Côtés opposés égaux : \(HG = EF = 8{,}4\) cm et \(EH = FG = 5{,}2\) cm (1 pt).
2. \(\widehat{G} = \widehat{E} = 72^\circ\) (angles opposés) (0,5 pt). \(\widehat{F} = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ\) (angles consécutifs) (1 pt), et \(\widehat{H} = \widehat{F} = 108^\circ\) (0,5 pt).
3. Périmètre : \(2 \times (8{,}4 + 5{,}2) = 2 \times 13{,}6 = 27{,}2\) cm (1 pt).

3 Parallélogramme ou non ? / 3 pts

1. Oui : les diagonales ont le même milieu (1 pt).
2. Non : les côtés opposés \([BC]\) et \([AD]\) n’ont pas la même longueur (\(3 \neq 4\)) (1 pt).
3. Oui : deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur (1 pt).

4 Une équation d’angles / 4 pts

1. Angles consécutifs, donc supplémentaires : \((4x + 10) + (2x + 20) = 180\) (1 pt).
2. \(6x + 30 = 180\), donc \(6x = 150\) et \(x = 25\) (1,5 pt). Alors \(\widehat{A} = 4 \times 25 + 10 = 110^\circ\) et \(\widehat{B} = 2 \times 25 + 20 = 70^\circ\) (1,5 pt).

5 Un rectangle caché / 3 pts

Dans le triangle \(ABC\), le plus grand côté est \([AC]\) : \(AC^2 = 289\) (1 pt).

\(AB^2 + BC^2 = 225 + 64 = 289\) (1 pt).

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, \(ABC\) est rectangle en \(B\) ; \(ABCD\) est un parallélogramme avec un angle droit, c’est donc un rectangle (1 pt).

6 Une démonstration / 3 pts

Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu : \(OA = OC\) (1 pt).

\(E\) et \(F\) sont les milieux de \([OA]\) et \([OC]\), donc \(OE = \dfrac{OA}{2} = \dfrac{OC}{2} = OF\) (1 pt).

Les points \(A\), \(O\), \(C\) sont alignés avec \(O\) entre \(A\) et \(C\), donc \(E\) et \(F\) sont de part et d’autre de \(O\), sur la même droite, à égale distance de \(O\) : \(O\) est le milieu de \([EF]\) (1 pt).