Symétrie centrale et parallélogrammes : exercices corrigés de maths 4ème à télécharger en PDF

1 Le milieu est la clé ★★★

\(O\) est le milieu du segment \([MM']\).

Donc \(OM' = OM = 2{,}8\) cm, et \(MM' = 2 \times 2{,}8 = 5{,}6\) cm.

2 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : \(O\) est le milieu de \([OO]\).
2. Vrai : c’est une propriété de la symétrie centrale.
3. Faux : le symétrique d’une droite est une droite parallèle.
4. Faux : les angles sont conservés, l’angle symétrique mesure encore \(40^\circ\).

3 Les côtés du parallélogramme ★★★

Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux : \(CD = AB = 7\) cm et \(DA = BC = 4\) cm.

Les angles opposés sont égaux : \(\widehat{C} = \widehat{A} = 70^\circ\).

4 Les diagonales ★★★

Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu \(O\).

\(OA = AC \div 2 = 5\) cm et \(OB = BD \div 2 = 3{,}8\) cm.

5 Un centre de symétrie ? ★★★

Le segment (son milieu), le cercle (son centre) et le carré (l’intersection de ses diagonales) ont un centre de symétrie.

Le triangle équilatéral et le trapèze quelconque n’en ont pas.

6 Symétriques dans un repère ★★★

On cherche \(A'\) tel que \(O\) soit le milieu de \([AA']\). De \(A\) à \(O\), on avance de \(2\) vers la droite et de \(1\) vers le haut : on fait pareil à partir de \(O\). Donc \(A'(5\,;\,4)\).

De \(B\) à \(O\), on avance de \(1\) vers la droite et on descend de \(2\) : donc \(B'(4\,;\,1)\).

Vérification : le milieu de \([AA']\) est \((3\,;\,3)\) et celui de \([BB']\) aussi.

7 Le segment image ★★★

La symétrie centrale conserve les longueurs : \(E'F' = EF = 6{,}3\) cm.

Elle transforme une droite en une droite parallèle : \((E'F') \parallel (EF)\).

8 Angles du parallélogramme ★★★

Les angles \(\widehat{A}\) et \(\widehat{B}\) sont consécutifs, donc supplémentaires : \(\widehat{A} = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ\).

Les angles opposés sont égaux : \(\widehat{C} = \widehat{B} = 118^\circ\) et \(\widehat{D} = \widehat{A} = 62^\circ\).

Contrôle : \(62 + 118 + 62 + 118 = 360\).

9 Le périmètre d’un parterre ★★★

Les côtés opposés d’un parallélogramme sont égaux : les quatre côtés mesurent \(5{,}6\) m, \(3{,}4\) m, \(5{,}6\) m et \(3{,}4\) m.

Périmètre : \(2 \times (5{,}6 + 3{,}4) = 2 \times 9 = 18\) m.

Il doit acheter \(18\) m de bordure.

10 Un quadrilatère à identifier ★★★

\(I\) est le milieu de \([EG]\) (car \(EI = IG\)) et de \([FH]\) (car \(FI = IH\)).

Les diagonales ont le même milieu : \(EFGH\) est un parallélogramme.

11 Peut-on conclure ? ★★★

Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux deux à deux. Ici \(AB = CD\), mais \(BC = 4\) cm et \(AD = 5\) cm sont différents.

Donc \(ABCD\) n’est pas un parallélogramme.

12 Le triangle retourné ★★★

La symétrie centrale conserve les longueurs : \(A'B' = 4\) cm, \(A'C' = 3\) cm et \(B'C' = 5\) cm.

Le plus grand côté est \([B'C']\) : \(5^2 = 25\) et \(4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, \(A'B'C'\) est rectangle en \(A'\).

Aire : \(\dfrac{4 \times 3}{2} = 6\) cm², la même que celle de \(ABC\).

13 Les diagonales du rectangle ★★★

Un rectangle est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur : \(BD = AC = 13\) cm.

\(O\) est le milieu des deux diagonales : \(OA = OB = 13 \div 2 = 6{,}5\) cm.

Comme \(OA = OB\), le triangle \(OAB\) est isocèle en \(O\).

14 Les diagonales du losange ★★★

Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu \(O\) : \(OA = 8\) cm et \(OB = 6\) cm.

Le triangle \(AOB\) est rectangle en \(O\) : \(AB^2 = OA^2 + OB^2 = 64 + 36 = 100\), donc \(AB = 10\) cm.

On retrouve bien le côté du losange : les valeurs sont cohérentes.

15 Un milieu qui garde la forme ★★★

Comme \(ABCD\) est un parallélogramme, \(AB = CD\) et \((AB) \parallel (CD)\).

\(M\) est le milieu de \([AB]\) : \(AM = \dfrac{AB}{2}\). \(N\) est le milieu de \([CD]\) : \(CN = \dfrac{CD}{2}\). Donc \(AM = CN\).

De plus, \((AM)\) est la droite \((AB)\) et \((CN)\) est la droite \((CD)\) : elles sont parallèles.

Le quadrilatère \(AMCN\) a deux côtés opposés, \([AM]\) et \([CN]\), parallèles et de même longueur : c’est un parallélogramme.

16 Symétrie et milieu ★★★

\(O\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\) : la symétrie de centre \(O\) transforme \(A\) en \(C\) et \(B\) en \(D\).

Elle transforme donc le segment \([AB]\) en le segment \([CD]\), et elle conserve les milieux : le milieu \(E\) de \([AB]\) a pour image le milieu de \([CD]\).

Or l’image de \(E\) est \(F\) : \(F\) est le milieu de \([CD]\). De plus \(E\), \(O\), \(F\) sont alignés.

17 Trouver l’inconnue ★★★

Les angles consécutifs sont supplémentaires : \((2x + 10) + (3x - 5) = 180\), soit \(5x + 5 = 180\).

\(5x = 175\), donc \(x = 35\).

\(\widehat{A} = 2 \times 35 + 10 = 80^\circ\) et \(\widehat{B} = 3 \times 35 - 5 = 100^\circ\).

Par les angles opposés : \(\widehat{C} = 80^\circ\) et \(\widehat{D} = 100^\circ\). Contrôle : \(80 + 100 + 80 + 100 = 360\).

18 Le cadre articulé ★★★

Les barres opposées gardent la même longueur et restent parallèles : le cadre reste un parallélogramme.

\(\widehat{C} = \widehat{A} = 60^\circ\), \(\widehat{B} = \widehat{D} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).

Le périmètre ne change pas : \(2 \times (60 + 35) = 190\) cm avant et après. En revanche, le cadre n’est plus un rectangle puisqu’il n’a plus d’angle droit.

19 Rectangle ou simple parallélogramme ? ★★★

Dans le triangle \(ABC\), le plus grand côté est \([AC]\) : \(AC^2 = 169\) et \(AB^2 + BC^2 = 144 + 25 = 169\).

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, \(ABC\) est rectangle en \(B\).

\(ABCD\) est un parallélogramme avec un angle droit : c’est un rectangle.

Aire : \(12 \times 5 = 60\) cm². Les diagonales d’un rectangle ont la même longueur : \(BD = AC = 13\) cm.

20 Du parallélogramme au losange ★★★

Dans un parallélogramme, \(AB = CD\) et \(BC = AD\). Comme \(AB = BC\), les quatre côtés sont égaux : \(ABCD\) est un losange.

Le triangle \(ABC\) est isocèle en \(B\) puisque \(BA = BC\). Le point \(O\) est le milieu de \([AC]\), donc \((BO)\) est la médiane issue du sommet principal, qui est aussi une hauteur.

Ainsi \((BO) \perp (AC)\) : les diagonales \((BD)\) et \((AC)\) sont perpendiculaires.