Parallélogrammes : exercices corrigés de maths 5ème à télécharger en PDF

1 Qui est un parallélogramme ? ★★★

Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles deux à deux.

Le carré, le rectangle et le losange ont deux paires de côtés opposés parallèles : ce sont des parallélogrammes. Le trapèze quelconque n’a qu’une paire de côtés parallèles, et le cerf-volant n’a en général aucun côté parallèle à un autre : ce ne sont pas toujours des parallélogrammes.

2 Côtés et périmètre ★★★

Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux : \(CD = AB = 9\) cm et \(DA = BC = 5\) cm.

Périmètre : \(2 \times (9 + 5) = 28\) cm.

3 Les angles ★★★

\(\widehat{G} = \widehat{E} = 74^\circ\) (angles opposés).

\(\widehat{F} = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ\) (angles consécutifs supplémentaires), et \(\widehat{H} = \widehat{F} = 106^\circ\) (angles opposés).

4 Les diagonales ★★★

Les diagonales se coupent en leur milieu : \(O\) est le milieu de \([KM]\), donc \(KM = 2 \times 2{,}6 = 5{,}2\) cm.

\(O\) est aussi le milieu de \([LN]\), donc \(LN = 2 \times 3{,}1 = 6{,}2\) cm.

5 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : les côtés opposés d’un rectangle sont parallèles deux à deux.
2. Faux : un parallélogramme dont les angles ne sont pas droits n’est pas un rectangle (par exemple un parallélogramme avec un angle de \(65^\circ\)).
3. Vrai : c’est sa définition.
4. Faux : c’est vrai seulement pour un rectangle. Dans un losange de diagonales \(6\) cm et \(8\) cm, elles sont différentes.

6 Retrouver un côté ★★★

Le périmètre vaut \(2 \times (a + b)\), donc \(a + b = 38 \div 2 = 19\) cm.

Le côté consécutif mesure \(19 - 12 = 7\) cm.

7 Donner le bon nom ★★★

1. Un rectangle.
2. Un losange.
3. Un carré.
4. Un losange, car un parallélogramme à diagonales perpendiculaires est un losange.

8 Deux angles dépendants ★★★

Les angles \(\widehat{A}\) et \(\widehat{B}\) sont consécutifs : leur somme vaut \(180^\circ\). Si on retire les \(34^\circ\) d’écart, il reste \(180^\circ - 34^\circ = 146^\circ\), qui est le double de \(\widehat{B}\).

\(\widehat{B} = 146^\circ \div 2 = 73^\circ\) et \(\widehat{A} = 73^\circ + 34^\circ = 107^\circ\). Les angles opposés sont égaux : \(\widehat{C} = 107^\circ\) et \(\widehat{D} = 73^\circ\).

9 Côtés liés ★★★

\(BC = 14 - 5 = 9\) cm. Les côtés opposés sont égaux : \(CD = AB = 14\) cm et \(DA = BC = 9\) cm.

Périmètre : \(2 \times (14 + 9) = 46\) cm.

10 Le triangle AOB ★★★

\(O\) est le milieu des deux diagonales : \(AO = 11 \div 2 = 5{,}5\) cm et \(BO = 7{,}4 \div 2 = 3{,}7\) cm.

Périmètre : \(AB + AO + BO = 5 + 5{,}5 + 3{,}7 = 14{,}2\) cm.

11 Est-ce un parallélogramme ? ★★★

1. \(EFGH\) est non croisé et ses côtés opposés sont égaux deux à deux : c’est un parallélogramme.
2. \(I\) est le milieu de \([AC]\), mais pas de \([BD]\) car \(BI \neq ID\). Les diagonales n’ont pas le même milieu : ce n’est pas un parallélogramme.

12 Le symétrique par rapport à O ★★★

1. Le symétrique de \(A\) est \(C\), car \(O\) est le milieu de \([AC]\).
2. Le symétrique de \(B\) est \(D\).
3. Le symétrique du segment \([AB]\) est le segment \([CD]\).

Une symétrie centrale conserve les longueurs : \(AB = CD\). De plus, un segment et son symétrique sont parallèles, donc \((AB) \parallel (CD)\).

13 L’étendoir à linge ★★★

\(\widehat{BCD} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\) (angles consécutifs). \(\widehat{CDA} = \widehat{ABC} = 70^\circ\) et \(\widehat{DAB} = \widehat{BCD} = 110^\circ\) (angles opposés).

Longueur de barre : \(2 \times (40 + 25) = 130\) cm.

14 Construis ABCD ★★★

Construction. Trace \([AB]\) de \(6\) cm. Avec le rapporteur, trace en \(A\) une demi-droite faisant \(60^\circ\) avec \([AB]\) et place \(D\) à \(4\) cm de \(A\). Puis, au compas, trace l’arc de centre \(D\) et de rayon \(6\) cm, et l’arc de centre \(B\) et de rayon \(4\) cm : ils se coupent en \(C\) (choisis le point d’intersection qui donne un quadrilatère non croisé). Trace \([BC]\) et \([CD]\).

Prévisions. \(BC = AD = 4\) cm et \(CD = AB = 6\) cm ; \(\widehat{ABC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\), \(\widehat{BCD} = 60^\circ\) et \(\widehat{CDA} = 120^\circ\).

15 Le quatrième sommet ★★★

Dans un parallélogramme, les diagonales ont le même milieu. Le milieu de \([AC]\) est \(M\left(\dfrac{1 + 8}{2}\,;\,\dfrac{1 + 6}{2}\right) = (4{,}5\,;\,3{,}5)\).

\(M\) est aussi le milieu de \([BD]\), donc \(x_D = 2 \times 4{,}5 - 6 = 3\) et \(y_D = 2 \times 3{,}5 - 2 = 5\) : \(D(3\,;\,5)\).

Contrôle : de \(B\) à \(C\) on se déplace de \(+2\) en abscisse et \(+4\) en ordonnée ; de \(A\) à \(D\) aussi (\(1 + 2 = 3\) et \(1 + 4 = 5\)). Les côtés \([BC]\) et \([AD]\) sont bien parallèles et égaux.

16 Un parallélogramme caché ★★★

\(E\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(B\), donc \(B\) est le milieu de \([AE]\) : \(BE = AB\), et \(E\) est sur la droite \((AB)\).

\(ABCD\) est un parallélogramme, donc \(AB = DC\) et \((AB) \parallel (DC)\). Par conséquent \(BE = DC\) et \((BE) \parallel (DC)\).

Dans le quadrilatère non croisé \(BECD\), les côtés opposés \([BE]\) et \([CD]\) sont parallèles et de même longueur : c’est un parallélogramme.

17 Un losange de 52 cm ★★★

1. Un losange a quatre côtés de même longueur.
2. Chaque côté mesure \(52 \div 4 = 13\) cm.
3. \(O\) est le milieu des deux diagonales : \(AO = 10 \div 2 = 5\) cm et \(BO = 24 \div 2 = 12\) cm. Le périmètre du triangle \(AOB\) vaut \(AB + AO + BO = 13 + 5 + 12 = 30\) cm.

18 Diagonales égales ★★★

1. \(O\) est le milieu de \([BD]\) : \(BD = 2 \times 5{,}5 = 11\) cm.
2. \(AC = BD = 11\) cm : c’est un parallélogramme aux diagonales de même longueur, donc un rectangle.
3. \(O\) est le milieu de \([AC]\) : \(AO = 11 \div 2 = 5{,}5\) cm.

19 Contre-exemple ★★★

Non. Le trapèze isocèle \(ABCD\) de la figure est un contre-exemple : \((AB) \parallel (DC)\) et \(AD = BC = 5\) cm.

Pourtant \(AB = 10\) cm et \(DC = 6\) cm ne sont pas égaux : les côtés opposés \([AB]\) et \([DC]\) n’ont pas la même longueur, donc \(ABCD\) n’est pas un parallélogramme. Il faut que le même couple de côtés opposés soit à la fois parallèle et de même longueur.

20 Deux hauteurs ★★★

Aire : \(\mathcal{A} = AB \times DH = 15 \times 6 = 90\) cm².

Avec la base \([BC]\), on a aussi \(\mathcal{A} = BC \times h\), donc \(10 \times h = 90\) et \(h = 90 \div 10 = 9\) cm.

La hauteur relative à \([BC]\) mesure \(9\) cm.