Nombres réels et suites : exercices corrigés de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Une inéquation avec valeur absolue ★★★

a) \(|2x-3| \lt 5 \iff -5 \lt 2x-3 \lt 5 \iff -2 \lt 2x \lt 8 \iff -1 \lt x \lt 4\). Solutions : \(]-1\,;\,4[\).

b) \(|x+1| \ge 3 \iff x+1 \ge 3\) ou \(x+1 \le -3\), soit \(x \ge 2\) ou \(x \le -4\). Solutions : \(]-\infty\,;\,-4] \cup [2\,;\,+\infty[\).

2 Borne supérieure d’une suite de fractions ★★★

Les premiers éléments sont \(0,\ \dfrac{1}{3},\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{3}{5}\).

On écrit \(\dfrac{n}{n+2} = 1 - \dfrac{2}{n+2}\). Cette quantité est strictement croissante en \(n\) et strictement inférieure à 1 : le minimum est \(0\) (atteint pour \(n=0\)), donc \(\inf A = \min A = 0\).

Le réel 1 majore \(A\). Pour \(\varepsilon \gt 0\), si \(n + 2 \gt \dfrac{2}{\varepsilon}\), alors \(1 - \dfrac{2}{n+2} \gt 1 - \varepsilon\). Donc \(\sup A = 1\), non atteint puisque \(\dfrac{2}{n+2} \gt 0\).

3 Parties entières ★★★

La partie entière est l’entier \(k\) tel que \(k \le x \lt k+1\).

\(-3 \le -2{,}7 \lt -2\) donc \(\lfloor -2{,}7 \rfloor = -3\). Ensuite \(\lfloor 5 \rfloor = 5\). Comme \(7^2 = 49 \le 50 \lt 64 = 8^2\), \(\lfloor \sqrt{50} \rfloor = 7\). Puis \(-4 \le -\pi \approx -3{,}14 \lt -3\) donne \(\lfloor -\pi \rfloor = -4\). Enfin \(\dfrac{17}{5} = 3{,}4\) et \(\left\lfloor \dfrac{17}{5} \right\rfloor = 3\).

4 Un rang pour une précision donnée ★★★

a) \(u_n - 3 = \dfrac{3n+1-3n-6}{n+2} = -\dfrac{5}{n+2}\), donc \(|u_n - 3| = \dfrac{5}{n+2}\). Pour \(\varepsilon \gt 0\), \(\dfrac{5}{n+2} \lt \varepsilon\) dès que \(n \gt \dfrac{5}{\varepsilon} - 2\) : le rang \(N\) existe, donc \(u_n \to 3\).

b) On veut \(\dfrac{5}{n+2} \lt 0{,}01\), soit \(n + 2 \gt 500\), donc \(n \ge 499\). Pour \(n = 498\), \(\dfrac{5}{500} = 0{,}01\) n’est pas strictement inférieur. Le plus petit rang est \(N = 499\).

5 Vrai ou faux sur les suites ★★★

a) Faux : \(u_n = (-1)^n\) est bornée mais diverge (sous-suites de limites \(1\) et \(-1\)).

b) Vrai : à partir d’un rang \(N\), \(|u_n - \ell| \lt 1\), donc \(|u_n| \lt |\ell| + 1\) ; il reste un nombre fini de termes avant \(N\).

c) Vrai : pour tout \(A\), le réel \(A\) ne majore pas la suite, donc un terme dépasse \(A\) et, par croissance, tous les suivants aussi.

d) Faux : \(u_n = (-1)^n\) a pour carré la suite constante 1, qui converge.

6 Monotonie de n sur 2 puissance n ★★★

a) \(u_0 = 0,\ u_1 = \dfrac{1}{2},\ u_2 = \dfrac{1}{2},\ u_3 = \dfrac{3}{8}\).

b) Pour \(n \ge 1\), \(u_n \gt 0\) et \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{n+1}{2n} \le 1\) car \(n + 1 \le 2n\). La suite est donc décroissante à partir du rang 1.

c) Décroissante et minorée par 0, elle converge vers \(\ell\). Dans \(u_{n+1} = u_n \times \dfrac{n+1}{2n}\), le facteur tend vers \(\dfrac{1}{2}\), d’où \(\ell = \dfrac{\ell}{2}\) et \(\ell = 0\).

7 Un décimal près d’un irrationnel ★★★

On a \(\sqrt{2} \approx 1{,}41421\) et \(\sqrt{2} + 0{,}001 \approx 1{,}41521\). Le décimal \(1{,}4143\) convient.

Justification : \(1{,}4143^2 = 2{,}00024449 \gt 2\), donc \(1{,}4143 \gt \sqrt{2}\) ; et \(1{,}4143 \lt 1{,}41521 \lt \sqrt{2} + 0{,}001\). Ce décimal est un rationnel : on illustre la densité de \(\mathbb{Q}\).

8 Ensemble défini par une inégalité du second degré ★★★

a) \(x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)\), négatif exactement pour \(1 \lt x \lt 3\). Donc \(A = ]1\,;\,3[\), \(\sup A = 3\) et \(\inf A = 1\), ni l’un ni l’autre atteint, car \(A\) est ouvert.

b) Pour \(x \gt 0\), \(x + \dfrac{1}{x} - 2 = \dfrac{(x-1)^2}{x} \ge 0\), donc 2 minore \(C\) ; pour \(x = 1\) on trouve 2 : c’est le minimum, \(\inf C = 2\). Enfin \(x + \dfrac{1}{x} \ge x\) peut dépasser tout réel, donc \(C\) n’est pas majorée.

9 Caractérisation par epsilon ★★★

a) \(2 - \dfrac{7}{n+3} = \dfrac{2n+6-7}{n+3} = \dfrac{2n-1}{n+3}\).

b) Le réel 2 majore \(A\). Pour \(\varepsilon \gt 0\), \(u_n \gt 2 - \varepsilon\) dès que \(n + 3 \gt \dfrac{7}{\varepsilon}\) ; donc \(\sup A = 2\). La suite est croissante, le minimum est \(u_0 = -\dfrac{1}{3}\).

c) On veut \(\dfrac{7}{n+3} \lt 0{,}001\), soit \(n + 3 \gt 7000\), donc \(n \ge 6998\). Pour \(n = 6997\), \(\dfrac{7}{7000} = 0{,}001\) exactement : insuffisant. Le plus petit rang est 6998.

10 Somme de deux parties ★★★

a) Comme dans l’exemple du cours, \(\sup A = 1\) et \(\sup B = 5\).

b) Un élément de \(A+B\) s’écrit \(6 - \dfrac{1}{n} - \dfrac{2}{m} \lt 6\) : 6 est un majorant. Pour \(\varepsilon \gt 0\), choisissons \(n \gt \dfrac{2}{\varepsilon}\) et \(m \gt \dfrac{4}{\varepsilon}\) ; alors \(\dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{m} \lt \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\). Donc \(\sup(A+B) = 6 = \sup A + \sup B\).

c) Pour \(\varepsilon = 0{,}01\) : \(n = 201\) et \(m = 401\). Alors \(\dfrac{1}{201} + \dfrac{2}{401} \approx 0{,}00498 + 0{,}00499 = 0{,}00996 \lt 0{,}01\).

11 Limite par encadrement ★★★

Comme \(-1 \le \sin n \le 1\), on a \(\dfrac{n-1}{2n+1} \le u_n \le \dfrac{n+1}{2n+1}\).

En divisant par \(n\), \(\dfrac{n-1}{2n+1} = \dfrac{1 - 1/n}{2 + 1/n} \to \dfrac{1}{2}\), et de même \(\dfrac{n+1}{2n+1} \to \dfrac{1}{2}\). Par encadrement, \(u_n \to \dfrac{1}{2}\).

12 Limite d’un quotient de puissances ★★★

On divise numérateur et dénominateur par \(5^n\) : \(u_n = \dfrac{(2/5)^n + 1}{1 - (3/5)^n}\).

Comme \(0 \lt \dfrac{2}{5} \lt 1\) et \(0 \lt \dfrac{3}{5} \lt 1\), \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^n \to 0\) et \(\left(\dfrac{3}{5}\right)^n \to 0\). Par quotient, \(u_n \to \dfrac{0+1}{1-0} = 1\).

13 Adjacentes avec des cubes ★★★

a) \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{(n+1)^3} \gt 0\) : \((u_n)\) croît. Ensuite
\(v_{n+1} - v_n = \dfrac{1}{(n+1)^3} + \dfrac{1}{(n+1)^2} - \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{n+2}{(n+1)^3} - \dfrac{1}{n^2}\). Or \(n^2(n+2) = n^3 + 2n^2 \lt n^3 + 3n^2 + 3n + 1 = (n+1)^3\), donc \(v_{n+1} - v_n \lt 0\). Enfin \(v_n - u_n = \dfrac{1}{n^2} \to 0\).

b) On calcule \(u_{10} \approx 1{,}1975\) et \(v_{10} = u_{10} + 0{,}01 \approx 1{,}2075\). Donc \(1{,}197 \lt \ell \lt 1{,}208\).

14 Valeurs limites d’une suite bornée ★★★

a) Pour \(n \ge 1\), \(|u_n| \le 1 + \dfrac{1}{n} \le 2\).

b) \(u_{2p} = 1 + \dfrac{1}{2p} \to 1\) et \(u_{2p+1} = -1 + \dfrac{1}{2p+1} \to -1\).

c) Deux sous-suites ont des limites différentes : \((u_n)\) diverge. Bolzano-Weierstrass garantit pourtant l’existence de sous-suites convergentes, c’est ce que l’on vient d’exhiber.

15 Une récurrence affine ★★★

a) \(u_1 = 8,\ u_2 = 7,\ u_3 = 6{,}5,\ u_4 = 6{,}25,\ u_5 = 6{,}125\).

b) \(v_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 3 - 6 = \dfrac{u_n - 6}{2} = \dfrac{v_n}{2}\) : géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\), de premier terme \(v_0 = 4\).

c) \(v_n = \dfrac{4}{2^n}\), donc \(u_n = 6 + \dfrac{4}{2^n}\). Vérification : \(u_5 = 6 + \dfrac{4}{32} = 6{,}125\). La limite est \(6\), l’unique point fixe de \(x \mapsto \dfrac{x}{2} + 3\).

16 Extremum d’une fraction rationnelle ★★★

Pour tout réel \(x\), \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{x}{1+x^2} = \dfrac{1 + x^2 - 2x}{2(1+x^2)} = \dfrac{(x-1)^2}{2(1+x^2)} \ge 0\). Donc \(\dfrac{1}{2}\) majore \(A\), et il est atteint pour \(x = 1\) : \(\max A = \dfrac{1}{2}\).

De même \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{x}{1+x^2} = \dfrac{(x+1)^2}{2(1+x^2)} \ge 0\), donc \(-\dfrac{1}{2}\) minore \(A\), atteint pour \(x = -1\) : \(\min A = -\dfrac{1}{2}\).

17 Un irrationnel entre deux fractions ★★★

a) Supposons \(r\sqrt{2} = q\) avec \(q\) rationnel. Alors \(\sqrt{2} = \dfrac{q}{r}\) serait rationnel, ce qui est faux. Donc \(r\sqrt{2}\) est irrationnel.

b) On cherche un rationnel \(r\) entre \(\dfrac{1}{3\sqrt{2}} \approx 0{,}2357\) et \(\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \approx 0{,}3536\) : prenons \(r = 0{,}3\). Alors \(0{,}3\sqrt{2} \approx 0{,}4243\), irrationnel d’après a), et \(\dfrac{1}{3} \approx 0{,}3333 \lt 0{,}4243 \lt 0{,}5\).

18 Récurrence polynomiale convergente ★★★

Encadrement. \(u_0 = 0\) convient. Si \(0 \le u_n \lt 1\), alors \(0 \le u_n^2 \lt 1\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n^2+2}{3} \in \left[\dfrac{2}{3}\,;\,1\right[\), donc \(0 \le u_{n+1} \lt 1\).

Croissance. \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{u_n^2 - 3u_n + 2}{3} = \dfrac{(u_n - 1)(u_n - 2)}{3}\). Avec \(u_n \lt 1\), les deux facteurs sont négatifs, donc la différence est positive.

Limite. Croissante et majorée, \((u_n)\) converge vers \(\ell \le 1\) avec \(\ell = \dfrac{\ell^2+2}{3}\), soit \(\ell^2 - 3\ell + 2 = 0\), donc \(\ell \in \{1, 2\}\). Comme \(\ell \le 1\), \(\ell = 1\). Premiers termes : \(u_1 = \dfrac{2}{3}\), \(u_2 = \dfrac{22}{27}\).

19 Une récurrence qui diverge ★★★

Si \(u_n \ge 3\), alors \(u_{n+1} \ge \dfrac{9+2}{3} = \dfrac{11}{3} \gt 3\) : la minoration passe de \(n\) à \(n+1\).

Comme \(u_n \gt 2\), \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{(u_n-1)(u_n-2)}{3} \gt 0\) : la suite est croissante.

Si elle convergeait, sa limite \(\ell \ge 3\) serait un point fixe, donc dans \(\{1, 2\}\) : contradiction. Croissante et non convergente, elle est non majorée et tend vers \(+\infty\).

\(u_1 = \dfrac{11}{3}\) et \(u_2 = \dfrac{139}{27} \approx 5{,}148\).

20 Suite de Cauchy et série des inverses des carrés ★★★

a) \(u_p - u_q = \sum_{k=q+1}^{p} \dfrac{1}{k^2} \ge 0\), et \(\dfrac{1}{k^2} \le \dfrac{1}{k(k-1)} = \dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k}\). La somme télescope : \(u_p - u_q \le \dfrac{1}{q} - \dfrac{1}{p} \lt \dfrac{1}{q}\). Pour \(\varepsilon \gt 0\), on prend un entier \(N \gt \dfrac{1}{\varepsilon}\) : pour \(p, q \ge N\), \(|u_p - u_q| \lt \dfrac{1}{\min(p,q)} \le \dfrac{1}{N} \lt \varepsilon\). La suite est de Cauchy, donc converge.

b) \(H_{2n} - H_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac{1}{k} \ge n \times \dfrac{1}{2n} = \dfrac{1}{2}\) pour tout \(n\). Avec \(p = 2n\) et \(q = n\) aussi grands que l’on veut, l’écart reste au moins \(\dfrac{1}{2}\) : \((H_n)\) n’est pas de Cauchy, donc diverge.

21 Algorithme de Héron pour racine de 7 ★★★

a) \(u_1 = \dfrac{1}{2}\left(3 + \dfrac{7}{3}\right) = \dfrac{8}{3}\) et \(u_2 = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{8}{3} + \dfrac{21}{8}\right) = \dfrac{127}{48}\).

b) \(u_{n+1}^2 - 7 = \dfrac{1}{4}\left(u_n^2 + 14 + \dfrac{49}{u_n^2}\right) - 7 = \dfrac{1}{4}\left(u_n^2 - 14 + \dfrac{49}{u_n^2}\right) = \dfrac{1}{4}\left(u_n - \dfrac{7}{u_n}\right)^2 \ge 0\). Tous les termes sont positifs, donc \(u_n \ge \sqrt{7}\) pour \(n \ge 1\).

c) \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{7 - u_n^2}{2u_n} \le 0\) dès que \(u_n \ge \sqrt{7}\). Décroissante et minorée, la suite converge vers \(\ell \ge \sqrt{7}\) tel que \(\ell = \dfrac{1}{2}\left(\ell + \dfrac{7}{\ell}\right)\), soit \(\ell^2 = 7\) : \(\ell = \sqrt{7}\).

d) \(u_2 \approx 2{,}645833\) et \(\sqrt{7} \approx 2{,}645751\) : l’écart est d’environ \(8{,}2 \times 10^{-5}\). La suite est formée de rationnels qui approchent un irrationnel.