21 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !
1 Une inéquation avec valeur absolue ★★★
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(|2x-3| \lt 5\) ; b) \(|x+1| \ge 3\). Écrire les solutions sous forme d’intervalles.
2 Borne supérieure d’une suite de fractions ★★★
Soit \(A = \left\{\dfrac{n}{n+2}\;;\;n \in \mathbb{N}\right\}\). Écrire les quatre premiers éléments, puis déterminer \(\inf A\) et \(\sup A\) en précisant s’ils sont atteints.
3 Parties entières ★★★
Calculer \(\lfloor -2{,}7 \rfloor\), \(\lfloor 5 \rfloor\), \(\lfloor \sqrt{50} \rfloor\), \(\lfloor -\pi \rfloor\) et \(\left\lfloor \dfrac{17}{5} \right\rfloor\).
4 Un rang pour une précision donnée ★★★
Soit \(u_n = \dfrac{3n+1}{n+2}\). a) Montrer que \(u_n \to 3\) avec la définition. b) Quel est le plus petit rang \(N\) tel que \(|u_n - 3| \lt 0{,}01\) pour tout \(n \ge N\) ?
5 Vrai ou faux sur les suites ★★★
Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, avec une justification ou un contre-exemple. a) Toute suite bornée converge. b) Toute suite convergente est bornée. c) Une suite croissante et non majorée tend vers \(+\infty\). d) Si \((u_n^2)\) converge, alors \((u_n)\) converge.
6 Monotonie de n sur 2 puissance n ★★★
Soit \(u_n = \dfrac{n}{2^n}\). a) Calculer \(u_0, u_1, u_2, u_3\). b) Étudier la monotonie à partir du rapport \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) pour \(n \ge 1\). c) En déduire la convergence et la limite.
7 Un décimal près d’un irrationnel ★★★
Donner un nombre décimal strictement compris entre \(\sqrt{2}\) et \(\sqrt{2} + 0{,}001\), puis justifier.
8 Ensemble défini par une inégalité du second degré ★★★
a) Déterminer \(\sup A\) et \(\inf A\) pour \(A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 - 4x + 3 \lt 0\}\). b) Pour \(C = \left\{x + \dfrac{1}{x}\;;\;x \gt 0\right\}\), montrer que \(\inf C = 2\), qu’il est atteint, et que \(C\) n’est pas majorée.
9 Caractérisation par epsilon ★★★
Soit \(u_n = \dfrac{2n-1}{n+3}\) pour \(n \in \mathbb{N}\) et \(A = \{u_n\}\). a) Écrire \(u_n = 2 - \dfrac{7}{n+3}\). b) Montrer que \(\sup A = 2\) et que \(A\) a un minimum. c) Pour \(\varepsilon = 0{,}001\), trouver le plus petit \(n\) tel que \(u_n \gt 2 - \varepsilon\).
10 Somme de deux parties ★★★
Soit \(A = \left\{1 - \dfrac{1}{n}\;;\;n \ge 1\right\}\) et \(B = \left\{5 - \dfrac{2}{m}\;;\;m \ge 1\right\}\). On note \(A + B = \{a + b\;;\;a \in A,\ b \in B\}\). a) Donner \(\sup A\) et \(\sup B\). b) Montrer que \(\sup(A+B) = 6\). c) Pour \(\varepsilon = 0{,}01\), exhiber \(n, m\) avec \(a + b \gt 6 - \varepsilon\).
11 Limite par encadrement ★★★
Montrer que \(u_n = \dfrac{n + \sin n}{2n+1}\) converge et calculer sa limite.
12 Limite d’un quotient de puissances ★★★
Déterminer la limite de \(u_n = \dfrac{2^n + 5^n}{5^n - 3^n}\).
13 Adjacentes avec des cubes ★★★
Soit \(u_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^3}\) et \(v_n = u_n + \dfrac{1}{n^2}\) pour \(n \ge 1\). a) Montrer que ces suites sont adjacentes. b) Donner un encadrement de leur limite avec \(n = 10\).
14 Valeurs limites d’une suite bornée ★★★
Soit \(u_n = (-1)^n + \dfrac{1}{n}\) pour \(n \ge 1\). a) Montrer que \((u_n)\) est bornée. b) Déterminer les limites de \((u_{2p})\) et \((u_{2p+1})\). c) La suite converge-t-elle ?
15 Une récurrence affine ★★★
Soit \(u_0 = 10\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 3\). a) Calculer \(u_1, \dots, u_5\). b) Poser \(v_n = u_n - 6\) et montrer que \((v_n)\) est géométrique. c) En déduire \(u_n\) et la limite.
16 Extremum d’une fraction rationnelle ★★★
Soit \(A = \left\{\dfrac{x}{1+x^2}\;;\;x \in \mathbb{R}\right\}\). Montrer que \(A\) a un maximum et un minimum, et les déterminer.
17 Un irrationnel entre deux fractions ★★★
a) Montrer que si \(r\) est un rationnel non nul, alors \(r\sqrt{2}\) est irrationnel. b) Trouver un irrationnel strictement compris entre \(\dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{1}{2}\).
18 Récurrence polynomiale convergente ★★★
Soit \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n^2 + 2}{3}\). Montrer que \(0 \le u_n \lt 1\) pour tout \(n\), que \((u_n)\) est croissante, puis déterminer sa limite.
19 Une récurrence qui diverge ★★★
On reprend \(u_{n+1} = \dfrac{u_n^2+2}{3}\), mais avec \(u_0 = 3\). Montrer que \(u_n \ge 3\) pour tout \(n\), que \((u_n)\) est croissante, puis qu’elle tend vers \(+\infty\). Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
20 Suite de Cauchy et série des inverses des carrés ★★★
a) Soit \(u_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2}\). Montrer que pour \(p \gt q \ge 1\), \(0 \le u_p - u_q \lt \dfrac{1}{q}\), puis que \((u_n)\) est de Cauchy. b) Soit \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}\). Montrer que \((H_n)\) n’est pas de Cauchy.
21 Algorithme de Héron pour racine de 7 ★★★
Soit \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \dfrac{7}{u_n}\right)\). a) Calculer \(u_1\) et \(u_2\). b) Montrer que \(u_{n+1}^2 - 7 = \dfrac{1}{4}\left(u_n - \dfrac{7}{u_n}\right)^2\), puis que \(u_n \ge \sqrt{7}\) pour \(n \ge 1\). c) Montrer que \((u_n)\) est décroissante à partir du rang 1 et déterminer sa limite. d) Comparer \(u_2\) et \(\sqrt{7}\).
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