Nombres et calculs : exercices corrigés de maths 2de à télécharger en PDF

1 Classer des nombres ★★★

\(-9\in\mathbb{Z}\) (négatif). \(\dfrac{18}{3}=6\in\mathbb{N}\). \(2{,}75=\dfrac{275}{100}\in\mathbb{D}\). \(\dfrac{4}{9}\in\mathbb{Q}\) : son dénominateur \(9\) est divisible par \(3\), la fraction n’est pas décimale. \(\sqrt{25}=5\in\mathbb{N}\). \(\sqrt{3}\) est irrationnel : seulement \(\sqrt{3}\in\mathbb{R}\).

2 Vrai ou faux sur les ensembles ★★★

1. Vrai : \(0\) est le premier entier naturel.
2. Vrai : un entier \(n\) s’écrit \(\dfrac{n}{10^0}\).
3. Faux : \(\dfrac{1}{3}=0{,}333\dots\) a une infinité de décimales ; si \(\dfrac{1}{3}=\dfrac{k}{10^n}\) alors \(10^n=3k\), impossible car \(10^n\) n’est pas divisible par \(3\).
4. Faux : \(\sqrt{16}=4\) est un entier.
5. Faux : \(\pi\) est irrationnel.

3 Calculs avec des puissances ★★★

\(A=2^{5+3}=2^8=256\). \(B=10^{3\times2}=10^6\). \(C=10^{-2+5}=10^3\). \(D=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{9}\). \(E=5^{4-2}=5^2=25\). \(F=1\).

4 Racines carrées simples ★★★

\(\sqrt{81}=9\) car \(9^2=81\). \(\sqrt{0{,}04}=0{,}2\) car \(0{,}2^2=0{,}04\). \(\sqrt{\dfrac{49}{16}}=\dfrac{7}{4}\). \((\sqrt{11})^2=11\). \(\sqrt{2^6}=\sqrt{64}=8\).

5 Inégalités et intervalles ★★★

a) \([-1\,;4[\). b) \(]2\,;+\infty[\). c) \(]-\infty\,;-5]\). d) \(]0\,;7]\). e) \(-3\le x\le-1\).

6 Distances sur une droite graduée ★★★

a) \(AB=|2-(-3)|=5\) ; \(BC=|7-2|=5\) ; \(AC=|7-(-3)|=10\). B est le milieu de \([AC]\).

b) \(|-4{,}5|=4{,}5\) ; \(|3-8|=|-5|=5\) ; \(|-6+2|=|-4|=4\).

7 Écriture scientifique ★★★

a) \(5{,}2\times10^7\). b) \(3{,}1\times10^{-4}\). c) \(120\times10^5=12\,000\,000=1{,}2\times10^7\). d) \(6\,800\).

8 Simplifier des racines ★★★

\(\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}=10\sqrt{2}\). \(\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=3\sqrt{5}\). \(\sqrt{18}+\sqrt{50}=3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}\). \(3\sqrt{28}=3\times2\sqrt{7}=6\sqrt{7}\).

9 Supprimer une racine au dénominateur ★★★

\(\dfrac{6}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\). \(\dfrac{10}{\sqrt{5}}=\dfrac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}\). \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). \(\dfrac{4}{\sqrt{8}}=\dfrac{4}{2\sqrt{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\).

10 Encadrer une racine ★★★

a) \(9\lt 10\lt 16\), donc \(3\lt \sqrt{10}\lt 4\). b) \(3{,}1^2=9{,}61\) et \(3{,}2^2=10{,}24\), donc \(3{,}1\lt \sqrt{10}\lt 3{,}2\). c) \(3{,}16^2=9{,}9856\) et \(3{,}17^2=10{,}0489\), donc \(3{,}16\lt \sqrt{10}\lt 3{,}17\). \(\sqrt{10}=3{,}1622\dots\) : l’arrondi au centième est \(3{,}16\).

11 Intersection et réunion ★★★

Les réels communs sont plus grands que \(-1\) (exclu car \(-1\notin B\)) et plus petits que \(1\) (inclus car \(1\in A\) et \(1\in B\)) : \(A\cap B=]-1\,;1]\). Les deux segments se recouvrent, donc \(A\cup B=[-4\,;6[\).

\(-1\notin A\cap B\) car \(-1\notin B\) ; \(0\in A\cap B\).

12 Équations avec valeur absolue ★★★

a) \(x-4=3\) ou \(x-4=-3\) : \(x=7\) ou \(x=1\). b) \(2x+1=5\) ou \(2x+1=-5\) : \(x=2\) ou \(x=-3\). c) Une valeur absolue est positive : aucune solution. d) \(3-x=0\) : \(x=3\).

13 Inéquations avec valeur absolue ★★★

a) Distance à \(2\) au plus \(4\) : \([-2\,;6]\). b) \(|x-(-1)|\lt 3\) : \(]-4\,;2[\). c) Distance à \(5\) strictement plus grande que \(1\) : \(]-\infty\,;4[\,\cup\,]6\,;+\infty[\).

14 Calculs en écriture scientifique ★★★

a) \(4\times2{,}5=10\), donc \(10\times10^{-3}=10^{-2}=1\times10^{-2}\). b) \(\dfrac{6}{1{,}5}=4\) et \(\dfrac{10^7}{10^3}=10^4\) : \(4\times10^4\). c) \(3\times10^4+0{,}5\times10^4=3{,}5\times10^4\).

15 Simplifier des puissances ★★★

\(A=\dfrac{2^4}{2^2}=2^2=4\). \(B=\dfrac{3^6}{3^4}=3^2=9\). \(C=\dfrac{10^5}{10^2}=10^3\). \(D=5^{-2}\times5^4=5^2=25\).

16 Irrationalité de 1 + √2 ★★★

Raisonnons par l’absurde : supposons \(1+\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}\) avec \(p\in\mathbb{Z}\) et \(q\in\mathbb{Z}^*\). Alors \(\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}-1=\dfrac{p-q}{q}\), quotient d’un entier par un entier non nul : \(\sqrt{2}\) serait rationnel, ce qui contredit le fait admis. Donc \(1+\sqrt{2}\) est irrationnel.

17 Du décimal périodique à la fraction ★★★

a) \(100x=36{,}3636\dots\), donc \(100x-x=36\), soit \(99x=36\) et \(x=\dfrac{36}{99}=\dfrac{4}{11}\). b) \(10y-y=7\), donc \(9y=7\) et \(y=\dfrac{7}{9}\). Ces deux nombres sont rationnels sans être décimaux.

18 Développer avec des racines ★★★

a) \(4-3=1\). b) \(5+2\sqrt{10}+2=7+2\sqrt{10}\). c) \(9-6\sqrt{2}+2=11-6\sqrt{2}\). D’après a), \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1\), donc \(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}\).

19 Un potager carré ★★★

a) Le côté est \(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}\) m. b) \(8{,}66^2=74{,}9956\) et \(8{,}67^2=75{,}1689\) : \(8{,}66\lt 5\sqrt{3}\lt 8{,}67\). c) Périmètre \(4\times5\sqrt{3}=20\sqrt{3}\approx34{,}64\) m. Le côté mesure environ \(8{,}66\) m.

20 La lumière du Soleil ★★★

Temps \(=\dfrac{\text{distance}}{\text{vitesse}}=\dfrac{1{,}5\times10^{11}}{3\times10^8}=0{,}5\times10^3=5\times10^2\) s. Comme \(500=8\times60+20\), la lumière met \(8\) min \(20\) s.

21 Tolérance d’une pièce ★★★

a) \([47{,}7\,;48{,}3]\), d’amplitude \(0{,}6\). \(47{,}65\) est refusée (trop petite), \(48{,}2\) est acceptée, \(48{,}31\) est refusée (trop grande).

b) \(12{,}3\le\ell\le12{,}5\) et \(8{,}4\le h\le8{,}6\). Tout est positif, donc \(12{,}3\times8{,}4\le\ell h\le12{,}5\times8{,}6\) : \(103{,}32\le\text{aire}\le107{,}5\) cm\(^2\).

22 Comparer sans calculatrice ★★★

a) \(3\sqrt{2}=\sqrt{18}\) et \(2\sqrt{5}=\sqrt{20}\) ; \(18\lt 20\), donc \(3\sqrt{2}\lt 2\sqrt{5}\). b) \(7=\sqrt{49}\) et \(4\sqrt{3}=\sqrt{48}\) ; \(49>48\), donc \(7>4\sqrt{3}\). c) \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ; même numérateur, dénominateur plus petit, donc \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}>\dfrac{\sqrt{2}}{3}\).